Bilinéaire

Une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$.
Soit $\phi :E\times F⟶G$ une application, on dit que $\phi$ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :
$\forall x,x^{\prime }\in E,\forall y,y^{\prime }\in F,\forall \lambda \in \mathbb{K}$:
$\phi (x+x^{\prime },y)=\phi (x,y)+\phi (x^{\prime },y)$
$\phi (x,y+y^{\prime })=\phi (x,y)+\phi (x,y^{\prime })$
$\phi (\lambda x,y)=\lambda \phi (x,y)$
$\phi (x,\lambda y)=\lambda \phi (x,y)$

Si $G=\mathbb{K}$ on parlera de forme bilinéaire.

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

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