Arbre de probabilité

En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles

On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante :

On lance un dé

• Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges
• Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.

La première étape permet de définir un univers Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé parfaitement équilibré). On considère alors les deux évènements complémentaires

• U1 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 1 »
• U2 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 2 »

On a donc U1 = { 3 ; 6 } et p(U1) = 1/3 puis p(U2) = 2/3.

Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe quand on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2.

• Le tirage dans l'urne 1 permet de définir un univers Ω₁={N ; B ; R} sur lequel on applique la probabilité suivante
• p(N) = 3/10
• p(B) = 4/10
• p(R) = 3/10.

Il s'agit en réalité du transfert à Ω₁ d'une équiprobabilité définie sur Ω1'={N, N, N, B, B, B, B, R, R, R}.

• De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir un univers Ω₂={N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.

L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant:

La lecture des probabilités se fait alors aisément:

• Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire :

• Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire  :

La probabilité de tirer une boule noire est alors :

Un arbre de probabilité est un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes

• La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1.
• La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
• La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est déjà réalisé p_A(B).

On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :

$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$ (produit des chemins).

Ainsi que la formule des probabilités totales:

si Ω₁, Ω₂, ..., Ω_n définit une partition de Ω (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne Ω), si les Ω_i sont de probabilité non nul, et si A est un évènement de Ω,

Que l'on a exploitée dans l'exemple pour calculer p(N)

L'arbre de probabilité facilite aussi l'inversion des probabilités conditionnelles ou théorème de Bayes :

Dans l'illustration précédente, cela revient à poser la question : « Sachant que l'on a tiré une noire, quelle est la probabilité que l'on ait tiré dans l'urne 1? »