Axiomes de plans projectifs/barycentriques

La notion de plan projectif barycentrique (PPB) est facile à imaginer intuitivement. Elle se définit à partir de la notion de barycentre dans un plan très ordinaire auquel on rajoute des points, appelés de manière imagée et arbitraire points à l'infini.

Soit un corps commutatif K; soit le sous-ensemble I de K^3 formé des triplets ordonnés (X, Y, Z) tels que X+Y+Z=0 et X, Y, Z non tous trois nuls.

• Dans I on définit une relation d'équivalence R, telle que, si k est un scalaire non-nul de K et V et W sont deux élements de I , alors W = k*V.
• Soit I/R l'ensemble-quotient de l'ensemble I par cette relation d'équivalence.
• Soit un plan affine dans lequel on distingue trois points non-alignés appelés points de base.
• Un plan projectif barycentrique (PPB) est l'union de deux ensembles:
• l'ensemble des points du plan affine et
• l'ensemble-quotient I/R.
• Les éléments de cet ensemble sont appelés points.

Démonstration

Elle se fait en plusieurs étapes

Partitionner l’espace vectoriel de départ

Prenons l’espace vectoriel K^3. On peut le partitionner en trois parties :

N, l’ensemble des vecteurs dont la somme X+Y+Z des composantes X,Y,Z est non-nulle.

J, l’ensemble des vecteurs non-nuls dont la somme X+Y+Z des composantes X,Y,Z est nulle.

l’ensemble à un élément qui est le vecteur nul (O,O,O).

Définir un plan projectif homogène

Conformément à la définition d’un plan projectif homogène (voir Axiomes de plans projectifs/homogènes) bâtissons à partir de K^3 un plan projectif homogène, c’est-à-dire l'ensemble-quotient d'un ensemble E par une relation d'équivalence S,

• l'ensemble E étant un l’espace vectoriel K^3, privé du vecteur nul (0,0,0).
• la relation S étant telle que, si k est un élément non-nul de K et V et W sont deux vecteurs non-nuls de E, alors W = kV.
• On appelle "point" une des classes d'équivalence, représentée par (x,y,z).

Vérifier l’isomorphisme des deux ensembles

Bijection des points du plan affine

Il est facile de vérifier qu’à chacun des points du plan affine on peut associer des coordonnées barycentriques (X’, Y’, Z’) selon les trois points de base avec X’+Y’+Z’ non-nulle, on peut lui faire correspondre un point du plan homogène de représentant (x,y,z) tels que X’=kx, Y’=ky, Z’=kz, k étant un scalaire non-nul du corps K. Et réciproquement.

Bijection des points supplémentaires=

A chaque point de l'ensemble-quotient I/R on peut associer un point de l'ensemble-quotient J/S tels que leurs coordonnées soient proportionnelles selon k, , k étant un scalaire non-nul du corps K. Et réciproquement.

Bijection globale

En fait l'ensemble des points du plan affine et l'ensemble-quotient I/R forment une partition du plan barycentrique. De même l’ensemble l'ensemble-quotient N/S et l'ensemble-quotient J/S forment une partition du plan homogène. Comme nous avons démontré une correspondance bijective pour chacun des couples des partitions, cela démontre la correspondance bijective entre les deux plans.

Réciproque ?

Remarquons que la réciproque n’est pas démontrée. Si un plan est projectif homogène, peut-il toujours engendrer au moins un plan projectif barycentrique ?

Les points du plan projectif barycentrique étant définis, on peut définir ainsi certaines parties de ce plan

Définition d’une droite

Une droite du plan projectif barycentrique est l’union de

• une droite du plan affine de départ, qui contient au moins 2 points, de coordonnées barycentriques V’=(X’, Y’, Z’) et V’’(X’’, Y’’, Z’’)
• un point de l'ensemble-quotient I/R, de représentant v=(x,y,z) tels que le déterminant |V’, V’’,v| soit nul.

Notation d’une droite du plan projectif barycentrique

Une droite d est notée (a, b, c), ces nombres étant des scalaires du corps K, la notation (0,0,0) étant interdite. En revanche les droites avec a+b+c=0 sont censées exister. La notation (ka, kb, kc), k étant un scalaire non-nul de K, désigne la même droite que (a,b,c).

Incidence entre droite et point

Un "point" et une "droite" sont incidents lorsque ax+by+cz=0.

Les points de l'ensemble-quotient I/R sont tous incidents à la droite (a,a,a) équivalente à (1,1,1) appelée de manière imagée et arbitraire droite de l'infini. En revanche aucun point du plan affine de départ n’est incident à cette droite (a,a,a). Aucun point de l'ensemble-quotient I/R n’est barycentre des trois points de base affectés de quelques coefficients que ce soit.