Coefficient de restitution

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Introduction

Le coefficient de restitution est un coefficient physique qui intervient lors d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton ». Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Valeurs possibles

$e \in [0, 1]$
Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible, et figurerait une collision qui collerait les deux corps entre eux au lieu de les faire rebondir.

Obtenir un coefficient de restitution

On peut notamment obtenir le coefficient de restitution par deux moyen:
$e = \frac{V _{r}}{V _{i}}$
Autrement dit le rapport entre la vitesse restituée Vr et la vitesse initiale Vi, mais aussi par:
$e = \frac{h _{n}}{h _{n - 1}}$
La racine du rapport entre la hauteur d'un rebond h_n et la hauteur du rebond précédent h_{n − 1}

Collision dans une dimension

On a : $v = - e u$
avec v = vitesse finale du système, u = vitesse initiale du système, e = coefficient de restitution.

Quelques valeurs

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos, mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de L. Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussions de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous.

Solide 1	Solide 2	e
bois	bois	1/2
liège	liège	5/9
ivoire	ivoire	8/9
verre	verre	15/16
acier	acier	19/20

Collision élastique

Si la collision est élastique, $e = 1$ , et donc $v = - u$
L'énergie cinétique est alors conservée.

Exemple: Un corps A de masse M_A avançant rectilignement à une vitesse u, percute un corps B de masse M_B au repos. La collision est élastique, donc e = 1. Soit v_A, et v_B les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement:

u M_{A} = M_{A} v_{A} + M_{B} v_{B}

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives):

v_{A} - v_{B} = - 1 \times u

On obtient alors les relations:

v_{A} = u \frac{M _{A} - M _{B}}{M _{A} + M _{B}}

v_{B} = 2 u \frac{M _{A}}{M _{A} + M _{B}}

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'entièreté de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si M_A = M_B.

Application: Rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum $h_{n}$ après n rebonds : : $h_{n} = e^{2 n} h_{0}$ Avec e coefficient de restitution de la collision, h₀ hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

Temps $t_{n}$ après le n rebond et avant le n + 1 rebond: $t_{n} = e^{n} \frac{8 h _{0}}{g}$ Avec g accélération de la pesanteur.

Temps total de rebond : $T = t_{0} + \frac{8 h _{0}}{g} i = 1 \sum \infty e^{i}$
A l'aide d'une suite géométrique, on trouve finalement: $T = t_{0} + (\frac{e}{1 - e}) \times \frac{8 h _{0}}{g}$ avec t₀ temps avant le premier rebond.

Remarque: Le nombre de rebonds est infini mais T est fini.