Constante trigonométrique exacte

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Introduction

En mathématiques, les expressions de constantes exactes pour les expressions trigonométriques sont parfois très utiles, principalement pour la simplification des solutions en radicaux qui permettent des simplifications supplémentaires.

Toutes les valeurs de sinus, cosinus et tangente d'angles d'incrément de 3° sont dérivables en utilisant les identités : demi-angle, Double-angle, Addition/soustraction ainsi que les valeurs pour 0°, 30°, 36° et 45°. Note : 1° $= \frac{π}{180}$ radians.

Cet article est incomplet dans au moins deux sens. D'abord, il est toujours possible d'appliquer la formule du demi-angle et trouver une expression exacte pour le cosinus d'un demi du plus petit angle de la liste. Ensuite, cet article exploite seulement les deux premiers des cinq nombres premiers de Fermat connu : 3 et 5. On pouvait en principe noter des formules impliquant les angles $\frac{2 π}{17}$ , $\frac{2 π}{257}$ , ou $\frac{2 π}{65537}$ , mais elles auraient été trop difficiles à manier pour la plupart des applications. En pratique, toutes les valeurs de sinus, cosinus et tangente absentes dans cet article sont approximées en utilisant les techniques décrites dans l'article Construire des tables trigonométriques.

Table des constantes

Les valeurs en dehors des angles 0° ... 45° sont trivialement extraites des axes du cercle unité par réflexion symétrie à partir de ces valeurs. (Voir Identité trigonométrique)

0° Fondamental

sin 0^{\circ} = 0

cos 0^{\circ} = 1

tan 0^{\circ} = 0

3° - Polygone à 60 côtés

sin \frac{π}{60} = sin 3^{\circ} = \frac{2 ( 1 - 3 ) 5 + 5 + 2 ( 5 - 1 ) ( 3 + 1 )}{16}

cos \frac{π}{60} = cos 3^{\circ} = \frac{2 ( 1 + 3 ) 5 + 5 + 2 ( 5 - 1 ) ( 3 - 1 )}{16}

tan \frac{π}{60} = tan 3^{\circ} = \frac{( ( 2 - 3 ) ( 3 + 5 ) - 2 ) ( 2 - 2 ( 5 - 5 ) )}{4}

6° - Polygone à 30 côtés

sin \frac{π}{30} = sin 6^{\circ} = \frac{( 6 ) 5 - 5 - ( 5 + 1 )}{8}

cos \frac{π}{30} = cos 6^{\circ} = \frac{( 2 ) 5 - 5 + 3 ( 5 + 1 )}{8}

tan \frac{π}{30} = tan 6^{\circ} = \frac{( 2 ) 5 - 5 - 3 ( 5 - 1 )}{2}

cot \frac{π}{30} = cot 6^{\circ} = \frac{3 ( 3 + 5 ) + 50 + 22 5}{2}

9° - Polygone à 20 côtés

sin \frac{π}{20} = sin 9^{\circ} = \frac{2 ( 5 + 1 ) - 2 5 - 5}{8}

cos \frac{π}{20} = cos 9^{\circ} = \frac{2 ( 5 + 1 ) + 2 5 - 5}{8}

tan \frac{π}{20} = tan 9^{\circ} = 5 + 1 - 5 + 25

cot \frac{π}{20} = cot 9^{\circ} = 5 + 1 + 5 + 25

12° - Polygone à 15 côtés

sin \frac{π}{15} = sin 1 2^{\circ} = \frac{( 2 ) 5 + 5 - 3 ( 5 - 1 )}{8}

cos \frac{π}{15} = cos 1 2^{\circ} = \frac{( 6 ) 5 + 5 + ( 5 - 1 )}{8}

tan \frac{π}{15} = tan 1 2^{\circ} = \frac{( 3 ) ( 3 - 5 ) - 50 - 22 5}{2}

cot \frac{π}{15} = cot 1 2^{\circ} = \frac{3 ( 5 + 1 ) + 2 5 + 5}{2}

15° - Polygone à 12 côtés

sin \frac{π}{12} = sin 1 5^{\circ} = \frac{2 ( 3 - 1 )}{4}

cos \frac{π}{12} = cos 1 5^{\circ} = \frac{2 ( 3 + 1 )}{4}

tan \frac{π}{12} = tan 1 5^{\circ} = 2 - 3

cot \frac{π}{12} = cot 1 5^{\circ} = 2 + 3

18° - Polygone à 10 côtés

sin \frac{π}{10} = sin 1 8^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}

cos \frac{π}{10} = cos 1 8^{\circ} = \frac{2 ( 5 + 5 )}{4}

tan \frac{π}{10} = tan 1 8^{\circ} = \frac{5 ( 5 - 2 5 )}{5}

cot \frac{π}{10} = cot 1 8^{\circ} = 5 + 25

20° - Ennéagone

sin \frac{π}{9} = sin 2 0^{\circ} = 3 - \frac{3}{16} + - \frac{1}{256} + 3 - \frac{3}{16} - - \frac{1}{256} =

2^{- \frac{4}{3}} (3 i - 3 - 3 i + 3)

cos \frac{π}{9} = cos 2 0^{\circ} =

2^{- \frac{4}{3}} (3 1 + i 3 + 3 1 - i 3)

21° - Somme 9° + 12°

sin \frac{7 π}{60} = sin 2 1^{\circ} = \frac{2 ( 3 + 1 ) 5 - 5 - 2 ( 3 - 1 ) ( 1 + 5 )}{16}

cos \frac{7 π}{60} = cos 2 1^{\circ} = \frac{2 ( 3 - 1 ) 5 - 5 + 2 ( 3 + 1 ) ( 1 + 5 )}{16}

tan \frac{7 π}{60} = tan 2 1^{\circ} = \frac{( 1 + 2 3 - 5 ) 5 - 2 5 + ( 2 + 3 ) ( 5 - 3 ) + 2}{2}

22,5° - Octogone

sin \frac{π}{8} = sin 22. 5^{\circ} = \frac{2 - 2}{2}

cos \frac{π}{8} = cos 22. 5^{\circ} = \frac{2 + 2}{2}

tan \frac{π}{8} = tan 22. 5^{\circ} = 2 - 1

cot \frac{π}{8} = cot 22. 5^{\circ} = 2 + 1

24° - Somme 12° + 12°

sin \frac{2 π}{15} = sin 2 4^{\circ} = \frac{3 ( 5 + 1 ) - 2 5 - 5}{8}

cos \frac{2 π}{15} = cos 2 4^{\circ} = \frac{6 5 - 5 + 5 + 1}{8}

tan \frac{2 π}{15} = tan 2 4^{\circ} = \frac{50 + 22 5 - 3 ( 3 + 5 )}{2}

cot \frac{2 π}{15} = cot 2 4^{\circ} = \frac{2 5 - 5 + 3 ( 5 - 1 )}{2}

27° - Somme 12° + 15°

sin \frac{3 π}{20} = sin 2 7^{\circ} = \frac{2 5 + 5 - 2 ( 5 - 1 )}{8}

cos \frac{3 π}{20} = cos 2 7^{\circ} = \frac{2 5 + 5 + 2 ( 5 - 1 )}{8}

tan \frac{3 π}{20} = tan 2 7^{\circ} = 5 - 1 - 5 - 25

cot \frac{3 π}{20} = cot 2 7^{\circ} = 5 - 1 + 5 - 25

30° - Hexagone

sin \frac{π}{6} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

cos \frac{π}{6} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

tan \frac{π}{6} = tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

cot \frac{π}{6} = cot 3 0^{\circ} = \frac{3}{3} = 3

33° - Somme 15° + 18°

sin \frac{11 π}{60} = sin 3 3^{\circ} = \frac{2 ( 3 - 1 ) 5 + 5 + 2 ( 3 + 1 ) ( 5 - 1 )}{16}

cos \frac{11 π}{60} = cos 3 3^{\circ} = \frac{2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 - 3 ) ( 5 - 1 )}{16}

tan \frac{11 π}{60} = tan 3 3^{\circ} = \frac{( - 15 + 10 3 - 7 5 + 4 15 ) 5 ( 5 - 2 5 ) + 5 ( 3 - 2 ) ( 3 + 5 ) + 10}{10}

36° - Pentagone

sin \frac{π}{5} = sin 3 6^{\circ} = \frac{2 ( 5 - 5 )}{4}

cos \frac{π}{5} = cos 3 6^{\circ} = \frac{5 + 1}{4}

tan \frac{π}{5} = tan 3 6^{\circ} = 5 - 25

cot \frac{π}{5} = cot 3 6^{\circ} = \frac{5 ( 5 + 2 5 )}{5}

39° - Somme 18°+ 21°

sin \frac{13 π}{60} = sin 3 9^{\circ} = \frac{2 ( 1 - 3 ) 5 - 5 + 2 ( 1 + 3 ) ( 1 + 5 )}{16}

cos \frac{13 π}{60} = cos 3 9^{\circ} = \frac{2 ( 1 + 3 ) 5 - 5 + 2 ( 3 - 1 ) ( 5 + 1 )}{16}

tan \frac{13 π}{60} = tan 3 9^{\circ} = \frac{( 2 ( 5 + 5 ) - 2 ) ( ( 2 - 3 ) ( 5 - 3 ) + 2 )}{4}

42° - Somme 21° + 21°

sin \frac{7 π}{30} = sin 4 2^{\circ} = \frac{6 5 + 5 - ( 5 - 1 )}{8}

cos \frac{7 π}{30} = cos 4 2^{\circ} = \frac{2 5 + 5 + 3 ( 5 - 1 )}{8}

tan \frac{7 π}{30} = tan 4 2^{\circ} = \frac{3 ( 5 + 1 ) - 2 5 + 5}{2}

cot \frac{7 π}{30} = cot 4 2^{\circ} = \frac{50 - 22 5 + 3 ( 3 + 5 )}{2}

45° - Carré

sin \frac{π}{4} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

cos \frac{π}{4} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

tan \frac{π}{4} = tan 4 5^{\circ} = 1

cot \frac{π}{4} = cot 4 5^{\circ} = 1