Copule (mathématiques)

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Introduction

En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule permet de caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'une variable aléatoire à valeurs dans $R^{d}$ sans se préoccuper de ses lois marginales.

Aspects probabilistes des copules

Une copule est une fonction de répartition, notée $C$ , définie sur $[0, 1]^{d}$ dont les marges sont uniformes sur $[0, 1]$ . Une caractérisation est alors que $C (u_{1}, ..., u_{d}) = 0$ si une des composantes $u_{i}$ est nulle, $C (1, ..., 1, u_{i}, 1, ..., 1) = u_{i}$ , et $C$ est $d$ - croissante.

En dimension 2, $C (0, v) = C (u, 0) = 0$ pour tout $u$ et $v$ , $C (u, 1) = u$ et $C (1, v) = v$ , pour tout $u$ et $v$ , et enfin, la propriété de 2 croissante se traduit par $C (u_{1}, v_{1}) - C (u_{1}, v_{2}) - C (u_{2}, v_{1}) + C (u_{2}, v_{2}) \geq 0$ .

L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si $(U, V)$ admet pour fonction de répartition $C$ , $Pr (u_{1} < U < u_{2}, v_{1} < V < v_{2}) = C (u_{1}, v_{1}) - C (u_{1}, v_{2}) - C (u_{2}, v_{1}) + C (u_{2}, v_{2}) \geq 0$ , la mesure $Pr$ étant nécessairement positive.

Le théorème de Sklar dit que si $C$ est une copule, et si $F_{1}, ..., F_{d}$ sont des fonctions de répartition (univariées), alors $F (x_{1}, ..., x_{d}) = C (F_{1} (x_{1}), ..., F_{d} (x_{d}))$ est une fonction de répartition de dimension $d$ , dont les marges sont précisément $F_{1}, ..., F_{d}$ .

Et réciproquement, si $F$ est une fonction de répartition en dimension $d$ , il existe une copule $C$ telle que $F (x_{1}, ..., x_{d}) = C (F_{1} (x_{1}), ..., F_{d} (x_{d}))$ , où les $F_{i}$ sont les lois marginales de $F$ .

Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule $C$ est alors unique, et donnée par la relation $C (u_{1}, ..., u_{d}) = F (F_{1}^{- 1} (u_{1}), ..., F_{d}^{- 1} (u_{d}))$ . Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire $(X_{1}, ..., X_{d})$ .

La copule d'un vecteur aléatoire $(X_{1}, ..., X_{d})$ est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire $(F_{1} (X_{1}), ..., F_{d} (X_{d}))$ , que l'on notera parfois $(U_{1}, ..., U_{d})$ .

Quelques copules classiques

Parmi les copules usuelles, la copule produit $Π (u_{1}, ..., u_{d}) = u_{1} ... u_{d}$ (on parlera aussi de copule indépendante). $(X_{1}, ..., X_{d})$ a des composantes indépendantes si et seulement si $Π$ est une copule du vecteur $(X_{1}, ..., X_{d})$ .

La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par $M (u_{1}, ..., u_{d}) = min {u_{1}, ...., u_{d}}$ . $M$ est une copule du vecteur $(X_{1}, ..., X_{d})$ si et seulement s'il existe des transformations croissantes $g_{i, j}$ telles que $X_{i} = g_{i, j} (X_{j})$ . Cette copule correspond à la borne supérieur de Fréchet-Hoeffding, au sens où pour toute copule $C$ , $C (u_{1}, ..., u_{d}) \leq M (u_{1}, ..., u_{d})$ .

Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules Archimédiennes, définies par $C (u_{1}, ..., u_{d}) = ϕ^{- 1} (ϕ (u_{1}) + ... + ϕ (u_{d}))$ , où $ϕ$ (appelé générateur de la copule Archimédienne) est au moins $d - 2$ fois continument dérivable, dont la dérivé $d - 2$ est décroissante convexe, et telle que $ϕ (1) = 0$ .

Ce générateur est unique à une constante (positive) multplicative près. Une sous classe relativement large est obtenue lorsque $ϕ$ est l'inverse d'une transformée de Laplace (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers,

la copule indépendante obtenue lorsque $ϕ (t) = - lo g (t)$ ,
la copule de Clayton obtenue lorsque $ϕ (t) = \frac{t ^{- α} - 1}{α}$ , avec $α \geq - 1$ . Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi Gamma. Cette copule est la seule copule Archimédienne invariante par troncature,
la copule de Gumbel obtenue lorsque $ϕ (t) = (- lo g (t))^{α}$ , avec $α \geq 0$ .

Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi stable. Cette copule est la seule copule Archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c’est-à-dire $C (u_{1}^{n}, ..., u_{d}^{n}) = C^{n} (u_{1}, ..., u_{d})$ , pour tout $n \geq 1$ ,

la copule de Frank obtenue lorsque $ϕ (t) = - lo g \frac{e ^{- α t} - 1}{e ^{- α} - 1}$ . Cette copule est la seule qui soit symétrique dans la queue inférieure et supérieure,