Convexe

En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.

Un objet est concave s'il est le complémentaire d'un objet convexe.

Cette notion concrète a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels et a débouché en analyse sur la notion de fonction convexe.

Le terme convexe est également utilisé :

• en optique. Voir à ce sujet l’article sur les lentilles.
• en finance. Voir à ce sujet l’article sur le gamma et la convexité.

On désigne ici par E un espace vectoriel réel ou complexe. On définit la notion de convexité pour des sous-ensembles de E.

Quels que soient x et y éléments de E, on appelle segment d'extrémités x, y le sous-ensemble de E ainsi défini :

Un sous-ensemble C de E est dit convexe si, pour tout x et y dans C, $[x,y]\subset C$. La partie vide est convexe.

Plus généralement, soit un système $\{v_1,v_2,\dots ,v_p\}$ de vecteurs de E. Un vecteur w de E est une combinaison convexe de ces vecteurs s'il existe p réels positifs ou nuls ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_p$ de somme égale à 1 tels que $w={\sum }_{k=1}^p{\lambda }_k{v}_k$.

Un sous-ensemble de E est convexe si et seulement s'il est stable par combinaison convexe, c'est-à-dire que toute combinaison convexe de vecteurs de C appartient à C. Cette caractérisation se démontre par récurrence sur le nombre de vecteurs.

Propriétés élémentaires

Une partie convexe est connexe.

L'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles convexes de E est un sous-ensemble convexe de E. Ce n'est pas le cas en général pour une réunion.

Si C est un ensemble convexe, il en est de même de son adhérence et de son intérieur.

Enveloppe convexe

Étant donnée une partie quelconque A de E, il existe au moins un sous-ensemble convexe de E contenant A, à savoir E lui-même ; alors on peut définir l'enveloppe convexe Conv(A) de A : c'est l'intersection de tous les sous-ensembles convexes de E contenant A.

C'est donc le plus petit sous-ensemble convexe de E contenant A, caractérisé par les deux propriétés suivantes :

• $\mathrm{Conv}(A)$ est convexe et $A\subset \mathrm{Conv}(A)$ ;
• si C est un sous-ensemble convexe de E contenant A, alors $\mathrm{Conv}(A)\subset C$.

Si x, y sont deux points de E, l'enveloppe convexe de la paire {x, y} est le segment [x, y].

Théorème

**L'enveloppe convexe d'un ensemble A est l'ensemble des combinaisons convexes de A.
**

Démonstration
Soit B l'ensemble des combinaisons convexes de A. Toute combinaison convexe de A appartient à $\mathrm{Conv}(A)$ (cf. ci-dessus). Donc $B\subset \mathrm{Conv}(A)$.
D'autre part l'ensemble de toutes les combinaisons convexes de A est un convexe (facile) contenant A et donc $\mathrm{Conv}(A)$. Ainsi $\mathrm{Conv}(A)\subset B$.
Donc $B=\mathrm{Conv}(A)$.

Théorème

L'enveloppe convexe d'un ensemble A équilibré est équilibrée

**Démonstration
**Soient $\{v_1,v_2,...,v_p\}$ une partie finie de A et $\lambda$ un scalaire vérifiant $|\lambda |\le 1$.
Tout $w\in \mathrm{Conv}(A)$ s'écrit $w={\sum }_{k=1}^N{\alpha }_k{v}_k$ avec ${\alpha }_k\ge 0$et ${\sum }_{k=1}^N{\alpha }_k=1$.
Alors $\lambda w={\sum }_{k=1}^N{\alpha }_k\lambda v_k$. Mais pour tout $k\lambda v_k\in A$ puisque A est équilibré. Il en résulte immédiatement que $\lambda w\in \mathrm{Conv}(A)$.

Exemples

• Les sous-ensembles convexes de l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels sont les intervalles de $\mathbb{R}$.
• Étant donnés n intervalles $I_1,\dots ,I_n$ de $\mathbb{R}$, leur produit cartésien $I_1\times \cdots \times I_n$ est un sous-ensemble convexe de ${\mathbb{R}}^n$.
• Dans un espace vectoriel (réel ou complexe), tout sous-espace vectoriel est convexe ; il en est de même de tout sous-espace affine.
• Dans un espace vectoriel normé (réel ou complexe), toute boule est convexe, qu'elle soit ouverte ou fermée.

Soit K une partie convexe de E contenant l'origine. On appelle jauge de K (relativement à l'origine) la fonction p_K de E dans ${\mathbb{R}}_{+}\cup \{+\infty \}$ définie par

ou $p_K(v)=+\infty$ si l'ensemble ci-dessus est vide.

Théorème

**La jauge p_K d'un convexe K contenant l'origine vérifie les propositions suivantes:
**

(i)Si $\lambda \ge 0$ alors $p_K(\lambda v)=\lambda p_K(v)$

(ii)$p_K(u+v)\le p_K(u)+p_K(v)$

Démonstration

• (i): Ce résultat est immédiat.

• (ii):Soient 2 vecteurs $u$ et $v$ quelconques. Le résultat est évident si $p_K(u)=+\infty$ ou $p_K(v)=+\infty$

Sinon:
$\alpha \ge p_K(u)$ équivaut à ${\alpha }^{-1}u\in K$
$\beta \ge p_K(v)$ équivaut à ${\beta }^{-1}v\in K$
. En utilisant la convexité, la conjonction de ces 2 propositions entraîne:
$(\alpha +\beta {)}^{-1}(u+v)=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }{\alpha }^{-1}u+\frac{\beta }{\alpha +\beta }{\beta }^{-1}v\in K$, ce qui équivaut à $\alpha +\beta \ge p_K(u+v)$.
Donc $p_K(u+v)\le {\inf }_{\alpha \ge p_K(u)}\alpha +{\inf }_{\beta \ge p_K(v)}\beta =p_K(u)+p_K(v)$

Théorème

**Si l'espace E est réel, la jauge d'un convexe symétrique K (par rapport à 0) et absorbant est une semi-norme sur E.
**

**Si l'espace E est complexe, la jauge d'un convexe K équilibré et absorbant est une semi-norme sur E.
**

Démonstration
Tout d'abord K étant absorbant il en résulte immédiatement que $\forall v\in E{p}_K(v)<+\infty$.
De plus, en utilisant le théorème précédent il suffit de vérifier que $\forall \lambda \in \mathbb{K}{p}_K(\lambda v)=|\lambda |p_K(v)$

• Si l'espace E est réel, la symétrie de $\mathbb{K}$ montre immédiatement que pour $\lambda <0p_K(\lambda v)=-\lambda p_K(v)=|\lambda |p_K(v).$
• Si l'espace E est complexe.

Ecrivons $\lambda =|\lambda |e^{i\theta }$ . K étant équilibré, pour tout $\mu >0{\mu }^{-1}|\lambda |e^{i\theta }v\in K$ équivaut à ${\mu }^{-1}|\lambda |v\in K$ puisque $|e^{i\theta }|=|e^{-i\theta }|=1$. Il en résulte l'égalité des bornes inférieures, c’est-à-dire $p_K(\lambda v)=p_K(|\lambda |v)=|\lambda |p_K(v)$.

Soient $\mathbb{H}$ un espace de Hilbert sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et M un ensemble convexe fermé (non vide) de $\mathbb{H}$. Si $v$ désigne un vecteur quelconque de $\mathbb{H}$, le problème ${\min }_{w\in M}|v-w|$ admet une solution unique $w^{\ast }$. On note alors $\exists !w^{\in }M|v-w^{|}={\min }_{w\in M}|v-w|$.

Cette solution est caractérisée par l'inéquation variationnelle :

De plus la projection : $p_M:v⟶w^{\ast }$ est 1-lipschitzienne et par conséquent uniformément continue.