Covariance

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Introduction

En statistiques, la covariance est un nombre permettant d'évaluer le sens de variation de deux variables et, ainsi, de qualifier l'indépendance de ces variables.

Si deux variables sont indépendantes, leur covariance est nulle, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Définition

En théorie des probabilités et en statistique, on nomme covariance de deux variables aléatoires réelles X et Y la valeur :

Définition — $cov (X, Y) \equiv E [(X - E [X]) (Y - E [Y])]$

où E désigne l'espérance mathématique.

Notation — On note parfois $cov (X, Y) \equiv σ_{X Y}$

Intuitivement, la covariance est une mesure de la variation simultanée de deux variables aléatoires. C'est-à-dire que la covariance devient plus positive pour chaque couple de valeurs qui diffèrent de leur moyenne dans le même sens, et plus négative pour chaque couple de valeurs qui diffèrent de leur moyenne dans le sens opposé.

L'unité de mesure de la covariance cov(X,Y) est le produit de l'unité des variables aléatoires X et Y et sa valeur est comprise dans $] - \infty; + \infty [$ . En revanche, la corrélation, qui dépend de la covariance, est une mesure de dépendance linéaire sans unité et prend ses valeurs dans [ − 1;1].

Dans le cas de variables discrètes, on a:

σ_{x y} = cov (x, y) = i = 1 \sum n j = 1 \sum m (x_{i} y_{j} p (x_{i}) p (y_{j} / x = x_{i})) - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ} = i = 1 \sum n j = 1 \sum m (x_{i} y_{j} p (y_{j}) p (x_{i} / y = y_{j})) - \overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ}

tandis que: $σ_{x}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} p (x_{i}) - \overset{x}{ˉ}^{2}$ et $σ_{y}^{2} = \sum_{j = 1}^{m} y_{j}^{2} p (y_{j}) - \overset{y}{ˉ}^{2}$

Propriétés

Par analogie avec le théorème de König-Huyghens pour la variance, on a:

Propriété — $cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$

La seconde propriété est utile pour les cas de variables X et Y indépendantes

Propriété — X et Y indépendantes $\Rightarrow cov (X, Y) = 0$

La réciproque, cependant, n'est pas vraie. Il est en effet possible que X et Y ne soient pas indépendantes, et que leur covariance soit nulle. Des variables aléatoires dont la covariance est nulle sont dites non corrélées.

Propriété — $cov (X, X) = var (X)$

Propriété — $cov (X, Y) = cov (Y, X)$

Propriété — $cov (c X, Y) = c cov (X, Y)$ si c est une constante

Propriété — $cov (X + c, Y) = cov (X, Y)$ si c est une constante

Bilinéarité de la covariance:

Propriété — $cov (\sum_{i} X_{i}, \sum_{j} Y_{j}) = \sum_{i} \sum_{j} cov (X_{i}, Y_{j})$

Ceci traduit le fait que la covariance est une forme bilinéaire symétrique positive (sur l'espace vectoriel $L^{2} (Ω, B, P)$ des variables aléatoires de carré intégrable), et que la forme quadratique associée est la variance.

Corollaire — $var (X + Y) = var (X) + var (Y) + 2 cov (X, Y)$

Cette formule est l'analogue de (x + y) = x + y + 2x**y . En fait, la plupart des propriétés de la covariance sont analogues à celles du produit de deux réels ou du produit scalaire de deux vecteurs.

Propriété — $var (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} var (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} cov (X_{i}, X_{j})$

Cette formule est classique pour une forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique.

Exemple

Dans un forum Internet, quelqu'un affirme que l'activité du forum est plus intense les jours de pleine lune. On peut ne pas disposer du calendrier des pleines lunes, mais si cette affirmation est exacte et si l'on nomme N(t) le nombre de contributions au jour t, la covariance entre N(t) et N(t+28) cumulée sur toutes les valeurs de t sera probablement supérieure aux covariances entre N(t) et N(t+x) pour les valeurs de x différentes de 28.

Estimation

Un estimateur de la covariance $cov (A B) \equiv σ_{A B}$ de deux variables aléatoires A et B observées conjointement N fois est donné par:

\overset{σ}{^}_{A B} = \frac{\sum a _{i} \cdot b _{i}}{N} - \frac{\sum a _{i}}{N} \cdot \frac{\sum b _{i}}{N}

Matrice de variance-covariance

Définition

La matrice de variance-covariance (ou simplement matrice de variance) d'un vecteur de k variables aléatoires $X$ est la matrice carrée donnée par:

var (X) = var (X_{1} ⋮ X_{k}) = (var (X_{1}) cov (X_{1} X_{2}) \dots cov (X_{1} X_{k}) cov (X_{1} X_{2}) ⋱ \dots ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ cov (X_{1} X_{k}) \dots \dots var (X_{k})) = (σ_{x_{1}}^{2} σ_{x_{1} x_{2}} \dots σ_{x_{1} x_{k}} σ_{x_{1} x_{2}} ⋱ \dots ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ σ_{x_{1} x_{k}} \dots \dots σ_{x_{k}}^{2})

Vu la propriété que $cov (X, Y) = cov (Y, X)$ , il s'agit d'une matrice symétrique. L'inverse de la matrice de covariance est parfois désignée par le terme de « matrice de précision ». La matrice de covariance est un cas particulier de matrice de Gram.

Estimation

Un estimateur de la matrice de variance-covariance de N réalisations d'un vecteur de variables aléatoires peut être donné par:

var (X) = \frac{\sum x _{i} \cdot x _{i}^{T}}{N} - \frac{\sum x _{i}}{N} \cdot (\frac{\sum x _{i}}{N})^{T}

Usage

La connaissance des covariances est le plus souvent indispensable dans les fonctions d'estimation, de filtrage et de lissage. Elles permettent, entre autres en photographie, d'arriver à corriger de façon spectaculaire les flous de mise au point ainsi que les flous de bougé, ce qui est extrêmement important pour les clichés astronomiques. On les utilise également en automatique. En sociolinguistique, la covariance désigne la correspondance entre l’appartenance à une certaine classe sociale et un certain parler inhérent à cette condition sociale.