Dérivation itérée

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$vers $\mathbb{R}$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ (non réduit à un point).

Lorsque la dérivée $f{}^{\prime }(x_0)$ existe pour tout $x_0\in I$, on dit que $f$ est « dérivable sur $I$ ».
On définit dans ce cas la fonction $f{}^{\prime }:I\to \mathbb{R},x\mapsto f{}^{\prime }(x)$.

Cette fonction $f{}^{\prime }$ s'appelle la « fonction dérivée de $f$ sur $I$ » ou « fonction dérivée première de $f$ sur $I$ » et se note également $f^{(1)}$.

Lorsque $f$ est dérivable sur $I$ et que la fonction $f{}^{\prime }$ est elle-même dérivable sur $I$, sa fonction dérivée sur $I$, ${\left(f{}^{\prime }\right)}^{\prime }$, s'appelle la fonction « dérivée seconde de $f$ sur $I$ » et se note $f{}^{\prime \prime }$ ou $f^{(2)}$. On dit alors que $f$ est « dérivable deux fois sur $I$ ».

On définit par récurrence (sous réserve d'existence) les « dérivées successives de ƒ sur I » par l’égalité

La fonction ƒ (où n ≥ 1) est appelée fonction « dérivée n (ou d'ordre n) de ƒ sur I ».

Lorsqu'elle existe, on dit que ƒ est « dérivable n fois sur I ». Dans ce cas, toutes les dérivées successives de ƒ ayant un ordre strictement inférieur à n sont continues sur I, puisqu'elles y sont dérivables ; mais ƒ n'est pas nécessairement continue sur I : c'est ce qui motive la définition donnée infra des fonctions de classe C.

Nota

On convient de définir la fonction dérivée d'ordre 0 de ƒ en posant ƒ = ƒ.

Soit n un entier naturel non nul. On dit que la fonction $f$ est de classe ${\mathrm{C}}^n$ (ou n fois continûment dérivable) sur $I$ si elle est n fois dérivable sur $I$ et si la fonction $f^{(n)}$ est continue sur $I$.

Conformément à la convention indiquée supra, la fonction $f$ est dite de classe ${\mathrm{C}}^0$ sur $I$ si elle est continue sur $I$.

La fonction $f$ est dite de classe ${\mathrm{C}}^{\infty }$ (ou indéfiniment dérivable) sur $I$ si pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\star }$, elle est dérivable n fois sur $I$.
Cela revient à dire que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\star }$, $f$ est de classe ${\mathrm{C}}^n$ sur $I$.