On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d'un espace métrisable à base dénombrable E. Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention ; sinon on pose :
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- L'espace E est au plus de dimension 1 si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus 0.
- n) L'espace E est de dimension au plus n si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus n-1.
Enfin l'espace E non vide est dit de dimension n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de dimension au plus n-1, et de dimension infinie s'il n'existe pas de n tel qu'il soit de dimension au plus n.
L'ensemble de Cantor (ou l'espace de Cantor qui lui est homéomorphe) est un espace compact de dimension 0 ; l'espace N est le parangon des espaces polonais de dimension 0. Un arc de Jordan rectifiable dans R est de dimension 1, une portion de surface régulière est de dimension 2, etc. Comme il se doit la dimension de tout ouvert non vide de R est n.
La dimension introduite ci-dessus, à valeur entière, est une notion topologique alors que la notion de dimension de Hausdorff, à valeur réelle, est métrique, et dépend fortement de la distance utilisée. Il existe cependant une belle relation entre les deux quand E est un espace compact métrisable :
La dimension topologique de E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie.