Dimension de Hausdorff

La dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est, en topologie, un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Samoilovitch Besicovitch. Elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch.

Un espace vectoriel réel de dimension finie E peut être muni d'une norme et toutes les normes sur E sont équivalentes. La dimension de Hausdorff de E fait sens et vaut la dimension de E - telle qu'elle est définie en algèbre linéaire. Cependant, en général, la dimension de Hausdorff n'est pas entière. Par exemple, la dimension de Hausdorff d'une courbe peut être strictement supérieure à 1. Il est possible de rencontrer des espaces métriques compacts de dimension 0 qui ne soient pas finis.

Dans un espace euclidien de dimension d, une boule de rayon r a un volume proportionnel à r. Intuitivement, on s'attend donc à ce que le nombre N(r) de boules de rayon r nécessaires pour recouvrir une boule de rayon unité soit de l'ordre de 1 / r.

On généralise cette notion à un espace métrique compact X quelconque de la façon suivante. Posons N(r) le nombre minimal de boules ouvertes de rayon r nécessaires pour recouvrir X. Si, lorsque r tend vers 0, N(r) croît comme $\frac{1}{r^d}$, l'espace X est dit de dimension d. Plus précisément, d sera le nombre tel que N(r)r tend vers 0 si s > d, et N(r)r tend vers l'infini si s < d.

Malheureusement, les limites des quantités N(r)r introduites dans le paragraphe précédent n'existent pas toujours. On peut contourner cette difficulté en procédant de la façon suivante :

• On recouvre l'espace X au moyen d'une réunion dénombrable de parties notées A_i, chacune étant de diamètre inférieur à r. Le fait d'utiliser une majoration du diamètre permet de prendre des parties arbitrairement petites, par exemple s'il s'agit de recouvrir une partie dénombrable de X, et de minimiser ainsi le rôle d'une telle partie dans le calcul de la dimension de X. Pour tout s réel positif ou nul, on considère la quantité ${\sum }_{i=1}^{\infty }\mathrm{diam}(A_i{)}^s$. Plus précisément, souhaitant avoir un recouvrement le plus économique possible, on introduit la quantité :

• La fonction H est décroissante, ce qui assure l'existence d'une limite (éventuellement infinie) quand on fait tendre r vers 0. D'où la définition :

H s'appelle mesure de Hausdorff. On vérifie que, si H(X) est fini, alors pour tout t > s, H(X) = 0, et que, si H(X) > 0, alors pour tout t < s, H(X) est infini.

• Il existe donc un nombre séparant les nombres s pour lesquels H(X) = 0 de ceux pour lesquels H(X) est infini. Ce nombre est la dimension de Hausdorff de X. On pose donc :

${\dim }_H(X)=\inf \left\{s,H^s(X)=0\right\}=\sup \left\{s,H^s(X)=\infty \right\}$.

• Si X est inclus dans $(Y,D_Y)$, alors ${\dim }_{H}X\le {\dim }_{H}Y$.
• La dimension de Hausdorff d’un produit d’espaces métriques est supérieure ou égale à la somme des dimensions de Hausdorff.

Explicitement, pour tous espaces métriques $(X,D_X)$ et $(Y,D_Y)$, on a :

${\dim }_H\left(X\times Y\right)\ge {\dim }_{H}X+{\dim }_{H}Y$.

• Si X est inclus dans ${\mathbb{R}}^n$, sa dimension de Hausdorff est inférieure ou égale à n.
• Si X est une réunion dénombrable de parties, toutes de dimension inférieure ou égale à n, alors ${\dim }_{H}X\le n$.
• Une fonction lipschitzienne diminue la dimension de Hausdorff.

Plus généralement, si $f:X\to Y$ est une fonction $a$-höldérienne entre espaces métriques (avec $0<a<1$), alors on a :

${\dim }_H\left(f(X)\right)\le \frac{1}{a}{\dim }_H(X)$.

• La dimension de Hausdorff n'est pas une quantité conservée par homéomorphisme. Par exemple, on peut définir des ensembles de Cantor, homéomorphes entre eux, mais de dimensions différentes. Mais si l'homéomorphisme ainsi que sa réciproque sont tous deux lipschitiziens, alors la distance est conservée.
• Si deux métriques sont Lipschitz-équivalentes, alors elles définissent la même dimension de Hausdorff.

Si $X$ est une partie d’un espace vectoriel réel qui vérifie la propriété suivante :

« Il existe $n$ similitudes $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ de rapports $r_1,r_2,\cdots ,r_n$ telles que $f_1(X),f_2(X),\cdots ,f_n(X)$ soient disjoints deux à deux et que leur union soit isométrique avec $X$. »

On a alors la relation :

${r_1}^d+{r_2}^d+\cdots +{r_n}^d=1$, où $d$ est la dimension de $E$.

Cela découle de la propriété suivante des mesures de Hausdorff :

« Pour tout λ positif, $H^d\left(\lambda \cdot X\right)={\lambda }^d\cdot H^d(X)$. »

et de l'invariance par isométrie. Cela offre un moyen simple de calculer les dimensions de fractales classiques, telles le flocon de Koch, le tapis de Sierpinski, etc.

Exemple

• L’ensemble de Cantor est constitué de deux ensembles de Cantor trois fois plus petits ; les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapports 1/3, composées avec des translations.

Donc $2{\left(\frac{1}{3}\right)}^d=1$, ce qui donne : $d=\frac{\ln (2)}{\ln (3)}={\log }_{3}2$.

• L’ensemble de Cantor asymétrique est constitué de deux ensembles de Cantor, l'un deux fois plus petit, l'autre quatre fois plus petit. Les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapports respectifs 1/2 et 1/4, composées avec des translations.

Donc ${\left(\frac{1}{2}\right)}^d+{\left(\frac{1}{4}\right)}^d=1$, ce qui conduit à : $d=\frac{\ln (\varphi )}{\ln (2)}$, où $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or.

• Un ensemble dénombrable est de dimension nulle.
• Le cercle est de dimension de Hausdorff 1.
• Dans ${\mathbb{R}}^n$, la dimension d'un ensemble de mesure de Lebesgue non nulle est n.
• Le graphe d'une fonction d'une variable réelle lipschitzienne est de dimension de Hausdorff 1. Si la fonction est a-höldérienne, alors la dimension de Hausdorff de son graphe est comprise entre 1 et 2 - a.
• La dimension de Hausdorff de l'ensemble triadique de Cantor est $\frac{\ln 2}{\ln 3}$.
• La dimension de Hausdorff du triangle de Sierpiński est $\frac{\ln 3}{\ln 2}$.
• La dimension de Hausdorff du tapis de Sierpiński est $\frac{\ln 8}{\ln 3}$.
• La trajectoire du mouvement brownien en dimension 2 est presque sûrement de dimension 2.