Ensemble de Cantor

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Introduction

En mathématiques, l'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.

Il s'agit d'un ensemble fermé du segment [0,1], d'intérieur vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue. C'est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une dimension non-entière (voir plus bas).

Il admet enfin une interprétation en termes de développement des réels en base 3. Pour cette raison, il est souvent noté K₃.

On le construit de manière itérative à partir du segment [0,1] en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant :

Construction

Construction itérative

On dénote par $T$ l'opérateur « enlever le tiers central » :

T : I \to I_{0} \cup I_{1}; [a, b] \mapsto [a, a + \frac{b - a}{3}] \cup [b - \frac{b - a}{3}, b] .

On note A₀ = [0,1] et on définit par récurrence une suite de parties de [0,1] par la relation :

\forall n \in N, A_{n + 1} = T (A_{n}) .

On a :

A_{1} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1];

A_{2} = [0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1];

A_{3} = [0, \frac{1}{27}] \cup [\frac{2}{27}, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{7}{27}] \cup [\frac{8}{27}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{19}{27}] \cup [\frac{20}{27}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, \frac{25}{27}] \cup [\frac{26}{27}, 1] .

Alors l'ensemble de Cantor K₃ est « la limite » de A_n quand n tend vers $+ \infty$ :

K = n \in N ⋂ A_{n} .

Écriture en base 3

On peut aussi définir l'ensemble de Cantor via l'écriture en base 3. Tout réel $x \in [0, 1]$ s'écrit de manière :

x = n = 1 \sum \infty \frac{x _{n}}{3 ^{n}};

avec $x_{n} \in {0, 1, 2}$ . On écrit alors

x = 0, x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} \dots

Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer $1000000 \dots$ par $0222222 \dots$ (et $2000000 \dots$ par $1222222 \dots$ ) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir K₃ par :

L'ensemble de Cantor est formé des réels de [0,1] ayant une écriture en base 3 ne contenant que des 0 et des 2.

C'est-à-dire

K_{3} = {n = 1 \sum \infty \frac{x _{n}}{3 ^{n}} ∣ x_{n} \in {0, 2}} .

Note : donc 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000… et 0,02222… en base 3. 2/3 également (0,2000… ou 0,12222…). Remarquez que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée.

Propriétés

L'ensemble de Cantor a de nombreuses propriétés particulières.

Mesure

L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire négligeable au sens de la mesure de Lebesgue.

En effet en notant $ℓ$ la mesure de Lebesgue sur $R$ , on a :

$ℓ ([0, 1]) = 1$ ;
pour une réunion A_n d'intervalles : $ℓ (T (A_{n})) = ℓ (A_{n + 1}) = \frac{2}{3} ℓ (A_{n})$ ;

où $T$ est l'opérateur « ablation du tiers central » (voir premier paragraphe).

On en déduit que pour les étapes de la construction itérative ci-dessus :

\forall n \in N, ℓ (A_{n}) = (\frac{2}{3})^{n} .

Et comme l'ensemble de Cantor est inclus dans tous les A_n : $ℓ (K) = 0$ .

L'ensemble de Cantor est donc « petit » au sens de la mesure de Lebesgue.

Non-dénombrabilité

Cependant l'ensemble de Cantor n'est pas dénombrable ; il a la puissance du continu (voir Infini).

En effet, on peut montrer que les ensembles K₃ et [0,1] sont équipotents.

Pour cela on associe à tout élément $x = O, x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \dots \in K_{3}$ écrit en base 3, l'élément $f (x) = 0, x_{1}^{'} x_{2}^{'} x_{3}^{'} x_{4}^{'} \dots \in [0, 1]$ écrit en base 2, avec :

x'_i = 0 si x_i = 0 ;
x'_i = 1 si x_i = 2.

Par exemple l'élément $0, 0202200222000 \dots$ de l'ensemble de Cantor correspondra à l'élément $0, 0101100111000 \dots$ du segment unité [0,1].

Il est facile de voir que cette application est surjective mais non injective (l'élément 0,1 étant l'image de $0, 0222222 \dots$ comme de 0,2). De l'existence d'une surjection de K₃ dans [0,1], par l'axiome du choix, on déduit l'existence d'une injection de [0,1] dans K₃, et comme l'application identité induit clairement une injection de K₃ dans [0,1], alors d'après le théorème de Cantor-Bernstein, on en déduit que K₃ et [0,1] sont équipotents. Donc l'ensemble de Cantor est aussi en bijection avec $R$ , il a la puissance du continu.

On peut aussi utiliser l'écriture en base 3. Celle-ci montre que K₃ est équipotent à ${0, 1}^{N}$ .

Ainsi l'ensemble de Cantor est « grand » au sens de la théorie des ensembles.

Propriétés topologiques

L'ensemble de Cantor est compact, et n'a que des points d'accumulation. On dit que c'est un ensemble parfait. Par ailleurs, il est d'intérieur vide,
L'ensemble de Cantor est également totalement discontinu c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe, et homéomorphe à l'espace topologique ${0, 1}^{N}$ .
Enfin l'ensemble de Cantor est « universel dans la catégorie des espaces métriques compacts», autrement dit tout espace métrique compact est l'image de l'ensemble de Cantor par une application continue. Cette affirmation a des répercussions importantes en analyse fonctionnelle.

Auto-similarité

L'image de l'ensemble de Cantor par l'homothétie h de centre 0 et de rapport 1/3 est elle-même une partie de l'ensemble de Cantor. Plus précisément

K_{3} = h (K_{3}) \cup (h (K_{3}) + \frac{2}{3}) .

Ainsi, K₃ est la réunion disjointe de deux parties qui lui sont homothétiques. C'est une manifestation de ce qu'on appelle l'auto-similarité, qui est l'une des propriétés de base des fractales.

Dimension

En conséquence de ce qui précède, on peut calculer la dimension de Minkowski ; elle vaut log(2)/log(3), nombre réel compris entre 0 et 1. On parle parfois de dimension fractionnaire car elle n'est pas entière, même s'il ne s'agit pas davantage d'un nombre rationnel. Dans cette formule, peu importe qu'on interprète log comme logarithme naturel ou logarithme décimal. On peut aussi écrire que la dimension vaut log₃(2) (logarithme de 2 en base 3).

Cette valeur est également la dimension de Hausdorff de l'ensemble. On peut donc dire que l'ensemble de Cantor est de dimension log(2)/log(3) sans se soucier de la dimension utilisée.

Variantes

Soit s un nombre strictement compris entre 0 et 1. Si, au lieu de couper chaque intervalle en trois et d'enlever l'intervalle central, on enlève à la n-ème étape un intervalle de longueur s / 3 au centre de chaque intervalle de la génération précédente, on obtient un ensemble de Cantor dont la mesure de Lebesgue est 1 - s. Cela permet d'obtenir un compact d'intérieur vide de mesure aussi proche de 1 que l'on veut. Le cas s = 1 redonne l'ensemble de Cantor usuel. Un procédé comparable est utilisé dans l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor.

Une autre version de l'ensemble de Cantor est le carré de Cantor. Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on considère un carré que l'on découpe en 9 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n'étant pas dans un coin du carré de départ. L'ensemble est construit de façon itérative en répétant cette action sur les nouveaux carrés. Ce n'est rien d'autre que le produit cartésien $K_{3} \times K_{3}$ d'un ensemble de Cantor par lui-même.

La même construction en dimension 3 conduit au cube de Cantor, égal au produit cartésien $K_{3} \times K_{3} \times K_{3}$