Distribution de Gumbel

Gumbel
Paramètres	$\mu$ location (real) $\beta >0$ scale (real)
Support	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{\exp (-z)z}{\beta }$ avec $z=\exp \left[-\frac{x-\mu }{\beta }\right]$
Fonction de répartition
Espérance	$\mu +\beta \gamma$
Médiane (centre)	$\mu -\beta \ln (\ln (2))$
Mode	$\mu$
Variance	$\frac{{\pi }^2}{6}{\beta }^2$
Asymétrie (statistique)	$\frac{12\sqrt{6}\zeta (3)}{{\pi }^3}\approx 1.14$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{12}{5}$
Entropie	$\ln (\beta )+\gamma +1$ pour $\beta >\exp (-(\gamma +1))$
Fonction génératrice des moments	$\Gamma (1-\beta t)\exp (\mu t)$
Fonction caractéristique	$\Gamma (1-i\beta t)\exp (i\mu t)$

En théorie des probabilités, la distribution de Gumbel ou loi de Gumbel, nommée d'après Émil Julius Gumbel, est une distribution de probabilité continue. C'est une distribution particulièrement importante en théorie des valeurs extrêmes : la distribution de Gumbel est une bonne approximation de la loi du maximum d'un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi, dès que cette loi appartient, précisément, au domaine d'attraction de la loi de Gumbel. Parmi les lois appartenant au domaine d'attraction de la loi de Gumbel, on compte la loi exponentielle.

La distribution de Gumbel peut, par exemple, servir à prévoir le niveau des crues d'un fleuve, si on possède le relevé des débits sur dix ans. Elle peut aussi servir à prédire la probabilité d'un événement critique, comme un tremblement de terre.

La fonction de répartition de la loi de Gumbel est :

Pour μ = 0 et β = 1, on obtient la loi standard de Gumbel.