Drapeau (mathématiques)

En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel de dimension finie E est une suite finie croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :

Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces E_i forment une suite croissante finie d'entiers

$0<d_1<\cdots <d_{k-1}<d_k=n$.

Si d_i=i, alors le drapeau est dit total.

Exemple : si E est l'espace ${\mathbb{R}}_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces ${\mathbb{R}}_i[X]$ successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau total de E.

À toute base $(e_1,\dots ,e_n)$ de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés

$E_1=\mathrm{Vect}(e_1),E_2=\mathrm{Vect}(e_1,e_2),\dots$.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs e_i ainsi : e_i appartient à E_i mais pas à E_{i − 1}.

Si u est un endomorphisme de E, alors on dit que le drapeau est stable par u si

$\forall i\in \{1,\dots ,n\},u(E_i)\subset E_i$.

Par exemple, si on reprend pour E l'espace ${\mathbb{R}}_n[X]$ et le drapeau formé des espaces ${\mathbb{R}}_s[X]$ successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc...

Soit u un endomorphisme de E, espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:

1. u est trigonalisable.
2. Il existe un drapeau total de E stable par u. (ou un drapeau u-stable)

L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.