Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

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Introduction

L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

Pour le champ E

On part de la relation :

\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div}\vec{E}\right)-\Delta\vec{E}

dans le vide, la charge volumique étant nulle, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

div E = 0

et avec Maxwell-Faraday

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

la relation initiale devient :

Grâce au théorème de Schwarz on peut permuter les opérateurs spatiaux et temporels et on a :

-\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}\right) = - \Delta\vec{E}

or le vecteur densité de courant $$ est nul aussi, l'équation de Maxwell-Ampère devient donc :

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

d'où :

Δ E = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}

Pour le champ B

On part de la relation :

\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}\right) = \overrightarrow\operatorname{grad}\left(\operatorname{div} \vec{B}\right)-\Delta\vec{B}

dans le vide, la densité de courant étant nulle, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

soit :

div B = 0

La relation initiale devient alors :

\overrightarrow\operatorname{rot}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right) = -\Delta\vec{B}

Grâce au théorème de Schwarz on peut permuter les opérateurs spatiaux et temporels et on a :

\epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}\right) = - \Delta\vec{B}

On peut alors utiliser l'équation de Maxwell-Faraday :

\overrightarrow\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

On obtient alors à partir de la relation initiale, avec la relation ε₀μ₀c = 1 :

Δ B = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} B}{\partial t ^{2}}