Vecteur densité de courant

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Introduction

On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit $d S$ un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose :

$j$ le vecteur densité de courant

tel que

$d i = j \cdot d S$ .

On a alors

$i = \iint_{S} j \cdot d S$ .

Le signe de i est alors lié à l'orientation de la surface S.

Expression de j

On montre, du fait que $i = \frac{d q}{d t}$ , que dans le cas où il n'y a qu'un seul type de porteur (électron par exemple) on a :

j = q \cdot n \cdot ⟨ v ⟩

où

q est la charge d'un porteur,
n la densité volume des porteurs (nombre de porteurs par unité de volume) et
$⟨ v ⟩$ le vecteur vitesse moyen des porteurs.

Dans le cas où il y a plusieurs types de porteurs (solution électrolytique par exemple) on aura :

j = k \sum q_{k} \cdot n_{k} \cdot ⟨ v ⟩_{k}

A noter que $⟨ v ⟩_{k}$ dépend des autres porteurs de charges.

Vecteur densité de courant surfacique jS

Supposons qu'une dimension du conducteur soit faible devant les autres, on aura alors une « feuille » d'épaisseur e négligeable, alors :

i = \iint_{S} j \cdot d S = \int (\int_{0}^{e} j d y) d x \cdot u

on pose alors :

j_{S} = \int_{0}^{e} j d y

ce qui donne

i = \int j_{S} d x \cdot u