Factorisation des polynômes

On considère ici des polynômes de degré supérieur ou égal à 1, à coefficients dans un corps commutatif $\mathbb{K}$. On appelle factorisation d'un polynôme P l'écriture de ce polynôme sous forme d'un produit de polynômes dont les degrés sont strictement inférieurs à celui de P.

Un polynôme n'admettant pas de factorisation (au sens précédent) est dit irréductible ; c'est notamment le cas des polynômes de degré 1. Un théorème classique est l'existence, sur un anneau factoriel, pour tout polynôme non irréductible, d'une factorisation en produit de polynômes irréductibles ; cette factorisation est essentiellement unique, à permutation près des facteurs et aux inversibles près.

Des algorithmes de factorisation des polynômes à coefficients dans les corps finis sont connus, par exemple l'algorithme de Berlekamp.

Deux cas fréquents sont ceux des polynômes à coefficients dans $\mathbb{R}$ et des polynômes à coefficients dans $\mathbb{C}$.

• Les seuls polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont les polynômes de degré 1 : tout polynôme de degré n à coefficients complexes peut se factoriser dans $\mathbb{C}[X]$ en produit de n polynômes du premier degré. C'est le théorème fondamental de l’algèbre, ou théorème de d'Alembert-Gauss.

• Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont de deux sortes : les polynômes de degré 1, et les polynômes de degré 2 sans racines réelles : tout polynôme P à coefficients réels peut se factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ en produit de polynômes de degré 1 (dont les racines sont les racines réelles de P) et / ou de polynômes de degré 2 sans racines réelles (dont les racines, deux à deux conjuguées dans $\mathbb{C}$, sont les racines non réelles de P).

Considérons le polynôme $X^4-1$ à coefficients dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

• L'identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ donne :

puis :

$X^4-1=(X^2+1)(X-1)(X+1)$.

Ceci est la factorisation en produit de facteurs irréductibles à coefficients dans $\mathbb{R}$.

• La factorisation en produit de facteurs irréductibles à coefficients dans $\mathbb{C}$ est :

$X^4-1=(X+i)(X-i)(X-1)(X+1)$.