Fonction homographique

On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif $\mathbb{K}$ dans lui-même définie par

où a, b, c et d sont des éléments de $\mathbb{K}$, c étant non nul et (a , b) étant non proportionnel à (c , d)

Cette fonction détermine une bijection de $\mathbb{K}-\left\{-\frac{d}{c}\right\}$ dans $\mathbb{K}-\left\{\frac{a}{c}\right\}$.

Sa réciproque est

Le nom provient de ce que si on rajoute à $\mathbb{K}$ un point à l'infini $\omega$ de sorte à en faire une droite projective, et si l'on prolonge $f$ par $f(-d/c)=\omega$, et $f(\omega )=a/c$, on obtient une homographie de . Et les homographies (plus celles du plan que celles de la droite il est vrai) transforment un graphique en un graphique ayant des **homo**logies avec celui de départ...

Dans le cas réel ou complexe, Sa dérivée est

où $\left|\begin{array}{ccc}a& bc& d\end{array}\right|=ad-bc$ est le déterminant de $\left[\begin{array}{ccc}a& bc& d\end{array}\right]$

Sa représentation graphique dans le cas réel est une hyperbole qui se déduit de l'hyperbole d'équation y = 1/x par une translation et une affinité.

A chaque fonction homographique complexe, on peut associer une fonction ponctuelle F qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe f(z).

On peut distinguer les cas suivants

• si c = 0 alors F est une similitude directe
• si c est non nul, on peut prouver que F est la composée d'une inversion et de similitudes

La fonction F conserve le birapport de 4 points distincts non alignés.

Une fonction homographique peut servir à tracer une conique. Pour cela il suffit de prendre deux tangentes à cette conique, sur la première tangente prendre un point X de coordonnée x, de faire une transformation homographique y=f(x) avec les paramètres (a, b c et d) judicieusement choisis de placer sur la deuxième tangente le point Y de coordonnée y. La droite (XY) sera tangente à la conique, mais on ignore la position du point de contact sur cette droite. Exemple: Construction d'une parabole tangente par tangente. De même on peut tracer une conique point à point en faisant subir une fonction homographique aux coordonnées de deux faisceaux de droites. Exemple: Construction d'un cercle point par point.

Les fonctions homographiques se composent comme des matrices : si $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},g(x)=\frac{a^{\prime }x+b^{\prime }}{c^{\prime }x+d^{\prime }}$ alors $f(g(x))=\frac{a^{\prime \prime }x+b^{\prime \prime }}{c^{\prime \prime }x+d^{\prime \prime }}$ où $\left[\begin{array}{ccc}a& bc& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}^{\prime }& b^{\prime }c& d^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}^{\prime \prime }& b^{\prime \prime }{c}^{\prime \prime }& d^{\prime \prime }\end{array}\right]$.

Plus précisément on a ainsi une représentation du groupe $G{L}_2(\mathbb{K})$ dans celui des fonctions homographiques (à un problème de définition près au point $-d/c$), dont le noyau est le centre de $G{L}_2(\mathbb{K})$.

Voir plus généralement la page sur les homographies.