Formule du multinôme de Newton

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Introduction

En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière n d'une somme d'un nombre fini m de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients. Nous avons pour tous entiers naturels m et n, et pour tous réels ou complexes $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ ,

$(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} + k_{3} + \dots + k_{m} = n} (k _{1} , k _{2} , k _{3} , \dots , k _{m} n) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} x_{3}^{k_{3}} \dots x_{m}^{k_{m}}$ .

La somme porte sur toutes les combinaisons d'indices entiers naturels $k_{1}, \dots, k_{m}$ tels que $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n$ , certains d'entre eux pouvant être nuls.

Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices $k$ de dimension m dont le module $k = \sum_{i = 0}^{m} k_{i}$ est égal à n :

(i = 1 \sum m x_{i})^{n} = ∣ k ∣ = n \sum (k n) i = 1 \prod m x_{i}^{k_{i}}

Les nombres

(k _{1} , k _{2} , k _{3} , \dots , k _{m} n) = (k n) = \frac{n !}{k _{1} ! k _{2} ! k _{3} ! \dots k _{m} !} = \frac{n !}{\prod _{i = 0}^{m} k _{i} !}

sont appelés les coefficients multinomiaux.

La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour m = 2 ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.