Grassmannienne

En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k,n) ou $G_{k,n}(\mathbb{K})$ la grassmanienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps $\mathbb{K}$. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmannienne des k-plans.

• Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.

• Pour k = n − 1, la grassmannienne correspond a l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, vu que chaque point correspond à un hyperplan.

• Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des Grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

Les grassmanniennes sont des variétés algébriques projectives. On en donne ici deux représentations.

G_p,n comme espace quotient

Pour le voir on note G**L_p,n l'ensemble des matrices de taille p,n et de rang p ;

S**L_p,n l'ensemble des matrices de taille p,n et de rang p ; dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que G_p,n est isomorphe à l'espace quotient G**L_p,n / G**L_p pour la relation d'équivalence :

$X\equiv Y$ si et seulement si $\exists M\in G{L}_p$ telle que Y = *MX***.

Si on note U_p l'ensemble des matrices unitaire, G_p,n est isomorphe à l'espace quotient S**L_p,n / U_p pour la relation d'équivalence

$X\equiv Y$ si et seulement si $\exists M\in U_p$ telle que Y = *MX***.

On voit que les topologies induites par ces représentations sont identiques via la représentation de Choleski.

G_p,n comme recollement de sous espaces affines

On introduit la base canonique $(e_i{)}_{i\in [[1,n]]}$ de $E={\mathbb{R}}^n$ et on note S une n − k-partie de {1...n}, E₁ = E_S le sous espace engendré par les vecteurs $(e_i{)}_{i\in S}$.

On note V_S = G_p,n,S l'ensemble des sous espaces vectoriels de dimension k ne rencontrant pas E₁ = E_S (à l'exception du vecteur nul).

Première étape

Soit V un sous espace de V_S.

En projetant V sur $E_2=E_{S^c}$ et E₁ = E_S, on voit que tout vecteur $x\in V$ s'écrit x = u + v = p(x) + q(x) avec $u\in E_1$ et $v\in E_2$, comme V et E₁ ont même dimension, il existe d'autre part $\varphi \in L(E_1,V)$ telle que x = φ(u). On a alors x = u + q**oφ(u) avec $\psi =qo\varphi \in L(E_1,E_2)$.

Seconde étape

L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective un sous-espace de V_S à une application linéaire $\psi \in L(E_1,E_2)$. Ou encore, en prenant la matrice de ψ_S(V) de $psi\in L(E_1,E_2)$, une bijection entre V_S et M_{n − k,k}, l'ensemble des matrices réelles de taille n − k,k.

On obtient ainsi, via la bijection, ${\psi }_S:G_{p,n,S}\mapsto M_{n-p,p}$, une description affine de G_p,n,S, des sous espaces de dimension pne rencontrant pas E_S. C'est-à-dire d'une partie 'ouverte' (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la Grassmanienne G_p,n.

troisième étape

On montre que pour deux parties différentes S et T, les changements de cartes ψ_To(ψ_S) induits par les descriptions de G_p,n,S et G_p,n,T est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre ${\psi }_S(G_{p,n,S}\cap G_{p,n,T})$ et ${\psi }_T(G_{p,n,S}\cap G_{p,n,T})$.

On en déduit par recollement que cette Grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que $G_{p,n}(\mathbb{R})$ est une variété non singulière, affine, fermée et bornée ;

$G_{p,n}(\mathbb{R})$ et $G(n-p,n)(\mathbb{R})$ étant birégulièrement isomorphe.

$$G_{p,n}(\mathbb{R})$$

comme ensemble de matrices

Soit $G_{p,n}(\mathbb{R})$ la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de ${\mathbb{R}}^n$. Soit $M_n(\mathbb{R})$ l'espace des matrices carrées de taille n à coefficients réels. Considérons l'ensemble des matrices $A_{n,p}\in M_n(\mathbb{R})$ définies par $A\in A_{n,p}$ si et seulement si les trois conditions sont remplies :

• A = A (i.e. elle est un opérateur de projection)

• A = A (elle est symétrique)

• T**r(A) = p (sa trace est p)

C'est-à-dire les matrices de projecteurs orthogonaux de rang p.

On obtient par ce biais une représentation de $G_{p,n}(\mathbb{R})$ comme un sous ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.

G_p,n comme plongement

Un autre façon de réaliser la grasmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grasmanniennes. Ce plongement de $G_{p,n}(\mathbb{R})$ dans l'espace projectif $\mathbb{P}({\Lambda }^p({\mathbb{R}}^n))$ des produits extérieurs de degré k dans l'espace ${\mathbb{R}}^n$ prolonge les travaux de Julius Plücker pour le cas des plans de ${\mathbb{R}}^4$