Inégalité de Hölder

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En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces L : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de L(S) et g dans L(S). Alors fg appartient à L(S) et

∣ f g ∣_{1} \leq ∣ f ∣_{p} ∣ g ∣_{q} .

En considérant S comme l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement, nous obtenons un cas particulier de l’inégalité :

k = 1 \sum n ∣ x_{k} y_{k} ∣ \leq (k = 1 \sum n ∣ x_{k} ∣^{p})^{1/ p} (k = 1 \sum n ∣ y_{k} ∣^{q})^{1/ q}

valable pour tous réels (ou nombres complexes) x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.

En considérant S comme l’ensemble des entiers naturels avec la mesure de dénombrement, nous obtenons une inégalité similaire pour les séries.

Pour p = q = 2, nous obtenons l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

L’inégalité de Hölder est utilisée pour démontrer l' inégalité triangulaire dans l’espace L, parfois appelée inégalité de Minkowski et aussi pour établir que L est le dual de L si $p \neq = 1$ et $p \neq = \infty$ .