Inégalité triangulaire

En mathématiques, l'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est le plus court. Cette inégalité peut être énoncée sous la forme d'une propriété ou bien d'une condition nécessaire à la bonne définition d'une distance.

En géométrie

Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueur AB, AC et CB vérifient les 3 inégalités suivantes :

Deux propriétés complètent cette inégalité :

• $|AC-CB|⩽AB$
• $$AB=AC+CB\iff C\in [AB]$$

Pour les nombres complexes

En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter

On obtient cette formulation équivalente.

Pour $(x,y)\in {\mathbb{C}}^2$, on a :

• $||x|-|y||⩽|x+y|⩽|x|+|y|$
• $$|x+y|=|x|+|y|⟺\exists (\lambda ,\mu )\in {\mathbb{R}}_{+}^2-\{(0,0)\},\lambda x=\mu y$$

Généralisation aux espaces préhilbertiens

Soit $(E,⟨|⟩)$ un espace préhilbertien. On note $|\cdot |$ la norme quadratique associée au produit scalaire. Pour $(a,b)\in E^2$, on vérifie alors :

• $\left||a|-|b|\right|⩽|a+b|⩽|a|+|b|$
• $$|a+b|=|a|+|b|⟺\exists (x,y)\in {\mathbb{R}}_{+}^2-\{(0,0)\},x\cdot a=y\cdot b$$

Point de vue axiomatique

Voir Distance (mathématiques) pour un article plus détaillé sur la notion de distance en mathématiques.

Soit E un ensemble et $d:E\times E\to \mathbb{R}$. On dit que d est une distance sur E si :

• $\forall (x,y)\in E^2,d(x,y)=d(y,x)$
• $$\forall (x,y)\in E^2,d(x,y)=0⟺x=y$$
• $\forall (x,y,z)\in E^3,d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$

La troisième propriété demandée à d pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire.

Lemme

Enoncé

Pour $z\in \mathbb{C}$ :

• $\mathrm{Re}(z)⩽|z|$
• $$\mathrm{Re}(z)=|z|⟺z\in {\mathbb{R}}_{+}$$

Démonstration

Soient $z\in \mathbb{C}$ et $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ tels que z = a + i**b.

Premièrement, $\mathrm{Re}(z)⩽|\mathrm{Re}(z)|=\sqrt{a^2}$.

Ensuite, $a^2⩽a^2+b^2$, car $b^2⩾0$ Par croissance de la fonction $x\in {\mathbb{R}}_{+}\mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}$, on obtient $\sqrt{a^2}⩽\sqrt{a^2+b^2}=|z|$.

Finalement $\mathrm{Re}(z)⩽|z|$.

Il y a égalité si Re(z) = | Re(z) | , c'est-à-dire si a est positif, et si | Re(z) | = | z | , c'est-à-dire si b = 0.

Dans le cadre des nombres complexes

Soit $(x,y)\in {\mathbb{C}}^2.$

Inégalités

Or $\mathrm{Re}(x\bar{y})⩽|x\bar{y}|=|x||y|$, par le lemme.

Donc $|x+y{|}^2⩽|x{|}^2+|y{|}^2+2|x||y|=(|x|+|y|{)}^2$

Par croissance de $x\in {\mathbb{R}}_{+}\mapsto \sqrt{x}\in \mathbb{R}$, on obtient $|x+y|⩽|x|+|y|$.

Posons x' = − x et y' = x + y.

Par ce qui précède, on a $|x^{\prime }+y^{\prime }|⩽|x^{\prime }|+|y^{\prime }|$, c'est-à-dire $|y|⩽|-x|+|x+y|$.

Donc $|y|-|x|⩽+|x+y|$

De même, $|x|-|y|⩽+|x+y|$

Finalement, $||x|-|y||⩽|x+y|⩽|x|+|y|$

Cas d'égalité

Supposons que | x + y | = | x | + | y | .

On a alors $\mathrm{Re}(x\bar{y})=|x\bar{y}|$. Par le lemme, $x\bar{y}$ est un réel positif. C'est-à-dire que x et y ont même argument.

Donc $\exists \theta \in \mathbb{R},x=|x|e^{i\theta },y=|y|e^{i\theta }$.

Finalement, on a bien λx = μy, avec λ = | y | et μ = | x | m.

Dans le cadre d'un plan euclidien

La démonstration la plus rapide est d'utiliser une représentation complexe du plan euclidien et d'appliquer le résultat précédemment démontré.

Dans le cadre des espaces préhilbertiens

La démonstration a exactement la même structure que pour les complexes.

Soit $(E,⟨|⟩)$ un espace préhilbertien. Soit $(a,b)\in E^2$.

Inégalités

On a $|a+b{|}^2=|a{|}^2+|b{|}^2+2\mathrm{Re}⟨a|b⟩$.

Par le lemme, $\mathrm{Re}⟨a|b⟩⩽|⟨a|b⟩|$.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $|⟨a|b⟩|⩽|a||b|$.

D'où $|a+b{|}^2⩽|a{|}^2+|b{|}^2+2|a||b|$.

Et donc $|a+b|⩽|a|+|b|$

Posons a' = − a et b' = b + a. On a, par ce qui précède, $|a^{\prime }+b^{\prime }|⩽|a^{\prime }|+|b^{\prime }|$.

C'est-à-dire, comme $|a|=|-a|$, on a $|b|⩽|a|+|b+a|$.

En faisant de même en intervertissant a et b, on obtient $||a|-|b||⩽|a+b|$.

Finalement, $||a|-|b||⩽|a+b|⩽|a|+|b|$

Cas d'égalité

Supposons que $|a+b|=|a|+|b|$, et que $a\ne 0$.

Par ce qui précède, on a donc $\mathrm{Re}⟨a|b⟩=|⟨a|b⟩|=|a||b|$.

Donc, par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, $\exists \lambda \in \mathbb{C},b=\lambda \cdot a$.

Et $⟨a|b⟩$ est un réel positif. Comme, $⟨a|b⟩=\bar{\lambda }|a{|}^2$, λ est aussi un réel positif.

Finalement,