Inégalité de Cauchy-Schwarz

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Introduction

En mathématiques, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, se rencontre dans de nombreux domaines tels que l'algèbre linéaire, l'analyse avec les séries et en intégration.

Cette inégalité s'applique dans le cas d'un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes muni d'un produit scalaire. Dans le cas complexe, le produit scalaire désigne une forme hermitienne définie positive. Son contexte général est donc celui d'un espace préhilbertien.

Cette inégalité possède de nombreuses applications, comme le fait d'établir l'inégalité triangulaire montrant que la racine carrée de la forme quadratique associée au produit scalaire est une norme, ou encore que le produit scalaire est continu. Elle fournit des justifications ou des éclairages dans des théories où le contexte préhilbertien n'est pas central.

Elle doit son nom à Hermann Amandus Schwarz et à Augustin Louis Cauchy.

Énoncé

Le théorème s'énonce couramment de la façon suivante :

Théorème 1 — Soit $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace préhilbertien réel ou complexe. Alors, pour tous vecteurs x et y de E,

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∣ x ∣ ∣ y ∣.

De plus, les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Démonstrations

Les démonstrations présentées ici sont valables aussi bien dans le cadre d'un espace préhilbertien complexe que réel, sauf bien sûr la dernière.

Lorsque y=0, l'énoncé est clairement vrai, par conséquent on supposera y non nul.

En outre, pour la première démonstration, qui est la plus connue, on suppose que le nombre $⟨ x, y ⟩$ est réel. On obtient la généralisation du cas étudié par multiplication du vecteur x (ou y) par un nombre complexe convenable de module égal à 1. Ceci étant $⟨ x, y ⟩$ devient réel sans changer de module; $∣ x ∣$ et $∣ y ∣$ ne varient pas non plus.

Inégalité

Posons, pour tout réel t,

P (t) = ∣ x + t y ∣^{2} = ∣ x ∣^{2} + 2 t ⟨ x, y ⟩ + t^{2} ∣ y ∣^{2} .

Par construction, cette expression polynomiale du second degré est positive ou nulle pour tout réel t. On en déduit que son discriminant est négatif ou nul :

4 ⟨ x, y ⟩^{2} - 4∣ x ∣^{2} ∣ y ∣^{2} \leq 0,

d'où l'inégalité annoncée.

Une variante plus directe est de poser

t_{0} = - ⟨ x, y ⟩ /∣ y ∣^{2}

et d'utiliser que

0 \leq P (t_{0}) = ∣ x ∣^{2} - ⟨ x, y ⟩^{2} /∣ y ∣^{2} .

(Ce t₀ n'est autre que la valeur en laquelle P atteint son minimum, mais cette propriété n'est pas utilisée.)

Cas d'égalité

Si (x,y) est lié alors x=λy pour un certain scalaire λ et l'on en déduit immédiatement :

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ = ∣ λ ∣ ∣ y ∣^{2} = ∣ x ∣ ∣ y ∣.

Réciproquement, si |<x,y>|=||x|| ||y|| alors le discriminant ci-dessus est nul donc P admet une racine réelle (double) t, et pour ce t on a

∣ x + t y ∣^{2} = P (t) = 0,

donc x=-ty, si bien que (x,y) est lié.

Ou plus directement (avec le t₀ de la variante ci-dessus) : l'hypothèse équivaut à P(t₀)=0 donc à x=-t₀y.

Variante géométrique

Une variante utilise l'identité du théorème de Pythagore.

Un calcul direct permet de voir que les vecteurs $⟨ x, y ⟩ y /∣ y ∣^{2}$ et $x - ⟨ x, y ⟩ y /∣ y ∣^{2}$ sont orthogonaux. Alors, par le théorème de Pythagore on a :

$∣ x ∣^{2} = ⟨ x, y ⟩ y /∣ y ∣^{2}^{2} + x - ⟨ x, y ⟩ y /∣ y ∣^{2}^{2}$ ,

et donc

∣ x ∣^{2} \geq ∣ ⟨ x, y ⟩ ∣^{2} /∣ y ∣^{2}

qui donne l'inégalité souhaitée.

Cette démonstration consiste en fait à calculer la norme du projeté orthogonal du vecteur x sur la droite vectorielle engendrée par y. L'égalité correspond donc au cas où x et y sont linéairement dépendants.

Le cas particulier R

Dans l'espace euclidien $R^{n}$ muni du produit scalaire usuel $⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ , où $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in R^{n}$ et $y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in R^{n}$ , une alternative aux démonstrations générales ci-dessus est de déduire l'inégalité (et le cas d'égalité) d'une identité très similaire à celle de la variante géométrique, l'identité de Lagrange, qui s'écrit :

⟨ x, y ⟩^{2} + 1 \leq i < j \leq n \sum (x_{i} y_{j} - x_{j} y_{i})^{2} = ∣ x ∣^{2} ∣ y ∣^{2} .

(Pour n=3, une preuve et une interprétation géométrique figurent dans identité de Lagrange dans R).

Cette identité se démontre de la façon suivante.

2 1 \leq i < j \leq n \sum (x_{i} y_{j} - x_{j} y_{i})^{2} = 1 \leq i < j \leq n \sum (x_{i} y_{j} - x_{j} y_{i})^{2} + 1 \leq j < i \leq n \sum (x_{j} y_{i} - x_{i} y_{j})^{2} = 1 \leq i, j \leq n \sum (x_{i} y_{j} - x_{j} y_{i})^{2} = (\sum x_{i}^{2}) (\sum y_{j}^{2}) + (\sum x_{j}^{2}) (\sum y_{i}^{2}) - 2 (\sum x_{i} y_{i}) (\sum x_{j} y_{j}) = 2∣ x ∣^{2} ∣ y ∣^{2} - 2 ⟨ x, y ⟩^{2} .

Conséquences et applications

Conséquences

L'inégalité de Cauchy-Schwarz a des applications importantes. Elle permet notamment de montrer que l'application $x \mapsto ⟨ x, x ⟩$ est une norme car elle vérifie l'inégalité triangulaire. Une conséquence est que le produit scalaire est une fonction continue pour la topologie induite par cette norme.

Elle permet également de définir l'angle non orienté entre deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel, par la formule :

cos (x, y) = \frac{⟨ x , y ⟩}{∣ x ∣∣ y ∣} .

Dans le cas de l'espace euclidien $R^{n}$ muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit :

i = 1 \sum n x_{i} y_{i} ⩽ (i = 1 \sum n x_{i}^{2})^{1/2} . (i = 1 \sum n y_{i}^{2})^{1/2}

Dans le cas des fonctions à valeurs complexes de carré intégrable, elle s'écrit

$\int f . \overline{g} ⩽ (\int ∣ f ∣^{2})^{1/2} . (\int ∣ g ∣^{2})^{1/2}$ .

Cette inégalité est un cas particulier des inégalités de Hölder.

Autres applications

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est aussi un outil fondamental de l'analyse dans les espaces de Hilbert. Grâce à elle, on peut construire une injection du préhilbert E dans son dual topologique : pour tout vecteur y, la forme linéaire qui à x associe <x,y> est continue, de norme égale à celle de y. Ceci permet d'énoncer le théorème de représentation de Riesz selon lequel si E est un espace de Hilbert alors cette injection est un isomorphisme. On la retrouve aussi dans le théorème de Lax-Milgram.
Cependant ses applications peuvent sortir du cadre strict de l'analyse dans les espaces de Hilbert. En effet elle se retrouve parmi les ingrédients utiles à l'inégalité de Paley-Zygmund en théorie des probabilités et du traitement du signal. En théorie des probabilités toujours, dans l'espace des variables aléatoires admettant un moment d'ordre 2, l'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit l'inégalité $E (X Y) \leq E (X^{2}) E (Y^{2})$ , qui compare l'espérance du produit de deux variables aléatoires au produit des espérances de leurs carrés. Elle permet d'établir que le coefficient de corrélation de deux variables aléatoires est un réel compris entre -1 et 1.
En optimisation, le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à la dérivée directionnelle permet de justifier que le gradient donne la direction de plus grande pente.
En physique, l'inégalité de Cauchy-Schwarz joue un rôle important dans le principe d'incertitude d'Heisenberg et a pris place dans le débat sur l'hypothèse des quanta de lumière. Elle serait utilisée en informatique quantique.

Généralisation

L'inégalité seule est vraie dans le contexte un peu plus général d'un semi-produit scalaire (i.e. sans supposer que la forme quadratique associée est définie), en notant encore || || la semi-norme associée :

Théorème 2 — Soit $(E, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'une forme bilinéaire symétrique positive (resp. d'une forme hermitienne positive). Alors, pour tous vecteurs x et y de E,

∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ ⩽ ∣ x ∣ ∣ y ∣.

Pour démontrer ce théorème 2, il suffit d'ajouter à la preuve algébrique de l'inégalité du théorème 1 un petit argument dans le cas où ||y||=0.

Cette inégalité fournit le corollaire suivant.

Corollaire — Pour qu'une forme bilinéaire symétrique positive (resp. une forme hermitienne positive) soit définie, (il faut et) il suffit qu'elle soit non dégénérée.

Le corollaire se démontre de la façon suivante.

Pour prouver le sens non immédiat de l'équivalence, supposons que la forme $⟨, ⟩$ est positive et non dégénérée, et montrons qu'elle est définie. Soit x un vecteur dont la semi-norme est nulle. Le théorème 2 montre que pour tout vecteur y on a $⟨ x, y ⟩ = 0$ , donc, par non dégénérescence, x = 0.