Lemme d'Euclide

En mathématiques le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire qui correspond à la Proposition 30 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il énonce que :

Théorème — Si un nombre premier p divise le produit de deux nombres entiers b et c, alors p divise b ou c.

Une généralisation est connue sous le nom de lemme de Gauss:

Théorème — Si un nombre entier a divise le produit de deux autres nombres entiers b et c, et que a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

Ceci peut être noté de façon formelle :

Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2) et est utilisée pour prouver la théorème de factorisation en nombres premiers. Le lemme de Gauss en découle (article 19).

Les noms de ces deux propositions sont parfois confondus. On notera d'ailleurs que le lemme de Gauss apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au XVII siècle.

Le lemme d'Euclide se généralise aux polynômes (cf l'article Arithmétique des polynômes), ainsi qu'à tout anneau factoriel.

Soit $(a,b,c)\in {\mathbb{Z}}^3$, avec $\mathrm{PGCD}(a,b)=1$ et a | b**c

Comme a est premier avec b, d'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe donc deux entiers relatifs u et v tels que :

u**a + v**b = 1

Multiplions membre à membre par c :

uac + vbc = c

Comme a | b**c, il existe un entier relatif k tel que bc = ka, d'où :

uac + vka = c

(u**c + v**k)a = c

Cette relation montre que a | c.

Première conséquence

Énoncé

Soient a et b deux entiers naturels non nuls et p un nombre premier. Si p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b. (Cet énoncé est en fait la forme originelle du Lemme d'Euclide.)

• $\forall (a,b)\in {\mathbb{N}}^2,\forall p\in \mathbb{P},p|ab\Rightarrow (p|a\vee p|b)$

Démonstration

- Si p divise a, alors la propriété est établie.
- Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux, puisque les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p. Ainsi, p est premier avec a, or p divise ab, donc d'après le théorème de Gauss, p divise b.

Deuxième conséquence

Énoncé

Soient a, b et c des entiers naturels non nuls. Si b et c sont premiers entre eux et divisent a, alors bc divise a.

• $\forall (a,b,c)\in {\mathbb{N}}^3,(b|a\wedge c|a\wedge \mathrm{PGCD}(b,c)=1)\Rightarrow bc|a$

Démonstration

- b divise a donc il existe un entier naturel k tel que a = kb.
- c divise a donc c divise kb. Comme c est premier avec b, d'après le théorème de Gauss, c divise k.
Il existe donc un entier naturel m tel que : k = mc.
Ainsi, a = kb = mbc. Autrement dit, bc divise a.

Généralisation

Soient $a\in \mathbb{Z}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $(b_i{)}_{i\in [1,n]}\in {{\mathbb{Z}}^{\ast }}^n$ vérifiant $\forall (i,j)\in [1,n{]}^2,i\ne j\Rightarrow \mathrm{PGCD}(b_i,b_j)=1$.

On a alors :

Troisième conséquence

Énoncé

Pour un rationnel r, il existe un unique couple d'entiers p et q premiers entre eux, q strictement positif, tels que r vaut p divisé par q.

• $\forall r\in \mathbb{Q},\exists !(p,q)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{\ast },\left(\left(\mathrm{PGCD}(p,q)=1\right)\wedge \left(r=\frac{p}{q}\right)\right)$

Démonstration

Soit $r\in \mathbb{Q}$

• Existence

On note .

.

De même, .

Montrons que $\mathrm{PGCD}(p_0,q_0)=1$.

Selon le théorème de Bachet-Bézout, $\exists (a,b)\in {\mathbb{Z}}^2,ap+bq=d$.

On a donc adp₀ + bdq₀ = d.

D'où a**p₀ + b**q₀ = 1.

Cette égalité assure que $\mathrm{PGCD}(p_0,q_0)=1$.

On a $\frac{p}{q}=\frac{d{p}_0}{d{q}_0}$.

D'où $\frac{p}{q}=\frac{p_0}{q_0}$.

Le couple (p₀,q₀) convient donc bien.

• Unicité

Soit $(p_1,p_2,q_1,q_2)\in {\mathbb{Z}}^2\times {{\mathbb{N}}^{\ast }}^2$ vérifiant :

1. $r=\frac{p_1}{q_1}=\frac{p_2}{q_2}$
2. $\mathrm{PGCD}(p_1,q_1)=\mathrm{PGCD}(p_2,q_2)=1$

On a donc p₁q₂ = p₂q₁.

q₂ | p₁q₂, donc q₂ | p₂q₁.

Or $\mathrm{PGCD}(p_2,q_2)=1$. Le théorème de Gauss montre que q₂ | q₁.

De même, q₁ | p₁q₂. Or $\mathrm{PGCD}(p_1,q_1)=1$. Donc, par le théorème de Gauss, q₁ | q₂.

D'où q₁ = q₂, car $(q_1,q_2)\in {\mathbb{N}}^2$.

Puis p₁ = p₂.

La forme irréductible d'un rationnel est donc unique.

Si a,b sont deux entiers tels que, pour tout entier c, a divise b**c implique que a divise c alors a et b sont premiers entre eux.

En effet, soit d un diviseur commun à a et b : on peut écrire a = a'd et b = b'd. Par hypothèse, comme a divise b**a', on a que a divise a' donc d = 1, CQFD.