Racine carrée de deux

La racine carrée de deux, notée √2, √2 ou 2, est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C’est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10 près est 1,414213562

Le calcul d’une valeur approchée de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d’extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire.

La longueur √2 peut être construite géométriquement de plusieurs manières ; par exemple, la diagonale d'un carré de côté 1, qui est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle, vaut √2 par le théorème de Pythagore.

Le nombre √2 est étudié depuis longtemps par les Babyloniens, experts en questions du second degré et disposant d'un algorithme d'approximation précis. Depuis l'école de Pythagore, les Grecs du V siècle av. J.-C. et du IV siècle av. J.-C. l'étudient pour mieux comprendre l'incommensurabilité, concept équivalent à notre irrationnalité. Ils trouvent trois démonstrations différentes, conduisant à divers progrès, comme la mise au point du raisonnement par l'absurde, la descente infinie ou encore l'anthyphérèse, un algorithme comparable à notre fraction continue. Pour les Grecs, ni les fractions, ni les irrationnels ne sont des nombres. Ce pas est franchi par les mathématiciens arabes à l'origine de l'algèbre.

Ce nombre intervient dans des applications de la vie courante :

• les feuilles de papier au format international (ISO 216) ont une proportion longueur/largeur égale à √2 ;
• en musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut √2 ;
• en électricité, la tension maximale du courant alternatif domestique vaut √2 de la tension efficace indiquée (généralement 110 ou 230 V) ;
• en photographie, la suite des valeurs d’ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées d’une suite géométrique de raison √2.

L’expression « racine carrée » est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation algébrique, et plus particulièrement de l’une des constructions de √2 qui sera présentée à la section consacrée à l'historique ; en effet, les problèmes mathématiques ont souvent été présentés sous forme géométrique avant d’être ramenés à des expressions algébriques. L’expression « radical de deux » était aussi utilisée.

Format de papier

Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d’emploi courant hors de l’Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles semblables à l’original ; c’est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L’aire étant diminuée d’un facteur 2, ceci n’est possible que si ce rapport vaut √2 ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies.

Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de √2.

Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d’un facteur √√2 ( _{1,19) et √√√2 (} 1,09).

Les facteurs d’agrandissement de 200 %, 141 %, 71 %, 50 % proposés par les photocopieuses sont des approximations de (√2) qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de 2 pages par feuille.

Musique

La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l’octave est 2 ; et la gamme est divisée en douze-demi tons de rapports de fréquence égaux f. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est donc f, qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport f = 2.

Dans ce système, la quarte augmentée (do–fa#) et la quinte diminuée (do-sol♭) sont égales et valent six demi-tons ; elles ont un rapport de fréquences de √2. Le chant grégorien utilise cet intervalle, le triton, mais à la fin du Moyen Âge celui-ci est systématiquement évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de « Diabolus in Musica ».

Électricité

En électricité, la tension efficace U_eff d’un courant alternatif sinusoïdal — par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est reliée à l’amplitude de la tension U_max par

U_max = U_eff√2, noté aussi Û=U√2,

soit, dans la plupart des applications courantes :

U_eff ≅ 0,7 U_max.

Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d’une onde sinusoïdale. On remarquera aussi que 20 log (U/√2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ((√2)^20) = 20 log U - log 1024 ~ 20 log U - 3 On parle de bande passante à -3 décibels.

Photographie

Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence normalisée f/1,4, f/2 f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de √2, qui a été choisie de sorte à ce que le rapport de flux lumineux soit dans un rapport 2 (flux = diamètre²). En diminuant d’un « cran » l’ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d’un facteur 2 la sensibilité de la pellicule requise.

Dans la pratique, l’ouverture indiquée est un arrondi ; l’ouverture réelle peut coller au plus proche de $\sqrt{2}$. Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports $\sqrt{\sqrt{2}}$ ou ${\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}$.

Babylone

La culture mathématique babylonienne est avant tout algorithmique. Elle dispose d'un système de numération ancien et positionnelle. Certaines tablettes, comme celle notée BM 13901, montre une bonne connaissance des questions du second degré, probablement traitées à partir de méthodes géométriques. En plus de disposer de méthodes de résolution, les Babyloniens savent calculer des approximations de racines carrées. La tablette YBC 7289 donne l'approximation de √2 sous la forme suivante :

Cette écriture correspond à la meilleure approximation possible de √2 avec quatre chiffres significatifs en numération babylonienne (base 60). L'approximation est précise au millionième. Cette tablette montre plusieurs éléments remarquables, leur préoccupation mathématique n'est pas uniquement pragmatique, une telle précision est trop importante pour une application pratique. Elle dénote aussi de la connaissance d'un algorithme d'approximation de racine, probablement de type méthode de Héron et équivalent à notre fraction continue.

Grèce antique

A la fin du VI siècle av. J.-C., l'école pythagoricienne prend connaissance du savoir babylonien, qui s'ajoute à la tradition grecque naissante, issue de Ionie. L'orientation ionienne, dont le maître à penser est Thalès, est géométrique. La notion de démonstration entre déjà dans leurs préoccupations. Dès les débuts de la période pythagoricienne, l'apport babylonien permet des progrès décisifs. La maîtrise des questions du second degré aboutit à une construction rigoureuse du pentagone régulier. L'algorithme d'approximation des racines est repris et prend le nom d'anthyphérèse. Il est probablement à l'origine de la découverte de ce que les Grecs appellent les incommensurables et qui correspond à notre notion de nombre irrationnel.

Si rien n'indique avec certitude que la proportion entre la diagonale d'un carré et de son côté est à l'origine de la découverte des incommensurables, √2 joue néanmoins un rôle fondamental dans les recherches sur leur nature. Dans un premier temps, les Grecs remarquent que l'anthyphérèse fournit une suite de proportions rationnelles qui s'approche de plus en plus de celle recherchée, sans jamais l'atteindre : un comportement qui ne fait aucun sens pour un peuple qui imagine que toute proportion est rationnelle. Le paradoxe d'Achille et de la tortue est probablement une trace de cette époque où l'incommensurabilité est plus vécue comme un scandale logique qu'un savoir cohérent. La maîtrise de l'anthyphérèse a néanmoins lieu avant la fin du V siècle av. J.-C.. Au début du IV siècle av. J.-C., elle est non seulement comprise pour √2 mais déjà généralisée à d'autres racines carrées d'entiers par Théétète, un mathématicien contemporain de Platon.

Un autre cheminement est envisagé pour la première démonstration de l'irrationnalité de √2. Il se fonde sur une remarque arithmétique : Le double d'un carré parfait n'est jamais un carré parfait. La duplication du carré et cette remarque implique l'irrationalité de √2. Un historien spécialiste de cette période, O. Becker remarque que cette démonstration repose sur un résultat d'arithmétique élémentaire que les premiers pythagoriciens connaissent et qu'ils appellent le principe du pair et de l'impair. Ce qui est avéré est que cette démonstration date du V siècle av. J.-C. et qu'elle est consigné par Aristote qui précise : «  Ils prouvent que le diamètre du carré est incommensurable au côté en montrant que, si l'on admet qu'il lui est commensurable, un nombre impair serait égal à un pair. »

Un troisième raisonnement consiste à faire usage d'une descente infinie à l'aide d'une construction géométrique. Il date d'une période plus tardive que celle des pythagoriciens. Il suppose en effet une méthode de démonstration inexistante avant Eudoxe de Cnide, un mathématicien du IV siècle av. J.-C..

Vers le nombre √2

L'histoire de la racine de deux se confond alors avec celle de la racine carrée et plus généralement des irrationnels. Elle peut se résumer en quelques lignes :

Les Grecs conçoivent ce que nous appelons les rationnels ou les réels comme des proportions, et non pas des nombres. La faiblesse des concepts apparaît dans une égalité comme : √2 x √3 = √6. Pour les Grecs, elle n'est pas démontrable ; √2 x √3 désigne une proportion entre aires et √6 n'a pas de sens dans le monde des aires. Le carré d'une surface n'existe pas chez les grecs.

La culture mathématique arabe de l'antiquité est à l'origine du prochain progrès. Au début du IX siècle, le perse Al-Khawarizmi développe les concepts d'équation et d'inconnue. Ces découvertes, parfois considérées comme la naissance de l'algèbre, amènent petit à petit l'idée de donner un statut de nombre aux fractions puis aux proportions incommensurables. Les propriétés algébriques des racines carrées sont établies. Omar Khayyam développe au XI siècle une théorie où les proportions sont des nombres, même si les incommensurables sont encore considérées comme impropres. L'Europe n'assimile ces notions que tardivement, le XVI siècle est une période de polémique pour savoir si les incommensurables méritent le statut de nombre. C'est à cette époque que l'usage du symbole √ se répand.

Construire un univers de nombres où l'égalité √2 x √3 = √6 est démontrée rigoureusement n'est pas simple. Cette construction n'apparaîtra que tardivement ; en 1876 Dedekind résout cette question.

Dupliquer un carré

La question de la duplication d'un carré correspond à la construction d'un carré d'aire double de celle d'un carré donné. On suppose que l'on dispose d'un carré d'aire 1 et l'on cherche à construire un carré d'aire 2. Par définition, le carré d'aire 1 possède un côté de longueur 1 et le carré d'aire 2 possède la même aire que celle de deux carrés d'aire 1.

Les Babyloniens savent comment faire, ils savent même calculer le côté du carré d'aire deux avec grande précision. Il existe deux méthodes simples pour s'en persuader. La plus directe consiste à étudier la figure de gauche. Le carré de côté 1 est composé de deux triangles, celui de côté noté √2 est formé d'exactement quatre triangles du même type, il est donc d'aire double. Une autre manière de se rendre compte du rapport deux entre les aires des carrés de la figure est l'usage du théorème de Pythagore. Un triangle isocèle rectangle de petit côté de longueur 1 possède une hypoténuse de carré égal à 1 + 1 = 2. Cette hypoténuse est la diagonale d'un carré de côté de longueur 1.

L'aire d'un carré s'obtient par multiplication de la longueur du côté par lui-même. La longueur du côté du carré d'aire 2 multiplié par lui même est donc égal à 2. Par définition de √2, ce carré est de longueur √2.

Il est en outre possible, à l'aide d'un cercle, de dupliquer le carré sans en changer l'orientation. Dans la figure ci-contre le grand carré a une surface double du petit carré. Il suffit pour s'en convaincre de faire pivoter le petit carré d'un huitième de tour. Le rapport des côtés des deux carrés est donc de √2. La figure de gauche illustrera, pour les mathématiciens futurs la présence de la racine carré de deux dans le sinus et le cosinus du huitième de tour.

cos(45°)=sin(45°)=1/√2=√2/2

Plus tard, ce tracé séduit de nombreux architectes comme Andrea Palladio dans sa Villa Rotonda ou dans l’Église ronde de Preslav. On la retrouve dans le cloître de la cathédrale de Cahors où la surface de la cour intérieure est égale à la surface de la galerie qui l'entoure ou dans les carnets de Villard de Honnecourt.

Rendre carré un rectangle

Les Babyloniens disposent de puissantes méthodes de calcul et, comme en témoigne la tablette YBC 7289, savent fournir une excellente approximation de √2. Si leur méthode reste encore inconnue, on imagine qu'ils utilisent le raisonnement présenté ici ou un équivalent.

La méthode consiste à construire un carré de la même aire qu'un rectangle. On commence par un rectangle de base 1 et de hauteur 2. Ensuite, pour rendre plus carré ce rectangle, on en construit un deuxième de base la moyenne des longueurs des côtés du premier rectangle, soit 1,5 : la moyenne de 1 et de 2. Sa hauteur est calculée pour que le nouveau rectangle soit d'aire 2, elle vaut 2/1,5 = 1,3333... A l'image des Babyloniens, les calculs sont ici réalisés en numération positionnelle, à l'image de notre notation décimale, mais eux comptent en base 60, ce que l'on ne fait pas ici pour des raisons de simplicité. Si l'on recommence, on trouve pour base la moyenne de 1,5 et de 1,3333... soit 1,4166... et pour hauteur 2/1,416... soit 1,4117... . L'itération suivante donne 1,4142... une approximation avec cinq chiffres significatifs. Pour obtenir la précision babylonienne, il faudrait itérer encore une fois l'opération.

Cette méthode ne donne jamais exactement la bonne valeur, et la suite des chiffres après la virgule ne s'arrête jamais. Pour les Babyloniens, ces difficultés ne sont pas nouvelles, on les trouve aussi pour certaines divisions. Avec les conventions modernes ce phénomène se produit pour 1/3 qui est un nombre proche de 0,3333, mais notre système décimal ne donne jamais exactement la bonne valeur.

Calculer avec √2

Les Babyloniens savent résoudre des questions du second degré. Cela les amène à pouvoir calculer des expressions contenant la valeur de √2. Pour les Babyloniens, le calcul de (√2 + 1)(√2 - 1), s'exprime comme la multiplication de 2,4142 par 0,4142. Ils ne disposent en effet d'aucun langage symbolique pour écrire √2 et la différence entre les deux expressions est suffisamment petite pour être acceptable.

Plutôt que de calculer une multiplication longue et fastidieuse, surtout en base 60, ils raisonnent géométriquement. La question revient à mesurer l'aire d'un rectangle de base √2 + 1 et de hauteur √2 - 1, à l'image de la figure de droite. En déplaçant la zone bleue du rectangle habilement, on remarque que le résultat est la différence entre l'aire d'un carré de côté √2 et l'aire d'un carré de côté 1. Le résultat est donc 1, obtenu en évitant des calculs rébarbatifs. Cette démarche géométrique est l'équivalent des calculs algébriques suivants, si p désigne la longueur de la diagonale d'un carré et q celle de son côté :

Les Babyloniens utilisent encore d'autres méthodes de calculs, repris et interprétés différemment par les Grecs. Ils ne concernent néanmoins pas directement la racine de deux.

Construction de √2 à la règle et au compas

Comme toutes les racines carrées de nombre entier, √2 est constructible à la règle et au compas ; a contrario, ce n’est pas le cas de la racine cubique de 2, par exemple.

Étant donné un segment AB de longueur unité, voici les différentes étapes pour construire un segment de longueur √2 avec une règle non graduée et un compas :

1. Tracer le symétrique B′ de B par rapport à A

• Tracer le cercle C₁ de centre A et de rayon AB, il coupe la demi-droite ]BA) en B′

1. Tracer la médiatrice (AH) de [BB′]

• Tracer le cercle C₂ de centre B et de rayon r > AB
• Tracer le cercle C₃ de centre B′ et de rayon r, il coupe C₂ en deux points, H et H′
• Tracer le segment [AH] il intersecte C₁ en un point C.

À cette étape le segment [BC] de longueur √2 est construit. Comme tout nombre constructible à la règle et au compas, √2 est constructible au compas seul.

Irrationalité

Si les Grecs héritent des méthodes des Babyloniens, elles s'insèrent dans un monde différent, essentiellement géométrique. Ils imaginent dans un premier temps que toutes les longueurs sont des fractions. Ils en déduisent qu'il suffit de choisir adroitement l'unité de longueur pour que les grandeurs présentes dans une figure correspondent à des nombres entiers. Ainsi, si à l'image de la figure de droite ils ont affaire à deux longueurs 3/2 et 4/3 avec la première unité de longueur (en bleu), ils choisissent comme unité de longueur le sixième de la précédente (en rouge), 3/2 devient 9 et 4/3 devient 8.

Avec cette logique, une question naturelle est celle des entiers caractérisant un demi-carré c'est à dire mesurant la diagonale et le côté d'un carré. Ces entiers n'existent pas, c'est à dire qu'il n'existe aucune unité de longueur tel que le côté et la diagonale s'obtiennent par multiplication de l'unité de longueur avec des entiers. Les grecs disent dans ce cas que la proportion entre la diagonale et le côté ou que les longueurs de la diagonale et du côté sont incommensurables. Dans notre langage, cette proportion est un nombre égal à √2, si ce nombre était commensurable, il s'écrirait p.u/q.u, où p, q sont des nombres entiers et u est un nombre quelconque représentant l'unité. En simplifiant par u, le nombre devient p/q, autrement dit un nombre rationnel. Ainsi, l'incommensurabilité d'une proportion est équivalente à notre notion d'irrationnel.

La fusion de la culture babylonienne, que van der Waerden qualifie d'algébrique, avec la culture géométrique grecque est à l'origine d'une nouvelle démarche mathématique, appelée algèbre géométrique. Cette démarche permet de démontrer l'irrationnalité de √2.

Le pair et l'impair

Une des démonstrations candidate pour être la plus ancienne est par l'absurde. Elle se fonde sur un principe que les pythagoriciens appellent le pair et l'impair. Ce principe indique que le carré d'un nombre pair est pair et le carré d'un nombre impair est impair.

On suppose qu'il existe une unité telle que la diagonale et le côté d'un carré sont des longueurs entières. On choisit la plus grande de ces unités, on note p la longueur de la diagonale et q celle du côté. La duplication du carré montre que p = 2q, ce qui montre que p est pair et donc p l'est aussi. On en déduit que q est impair car sinon le double de l'unité permettrait d'exprimer la diagonale et le côté comme des entiers, ce qui contredit le fait que celle choisie est la plus grande de toutes. Le graphique à gauche montre que le carré de côté q est d'aire égale au rectangle en bleu de base p/2 et de hauteur p. Ce rectangle se divise en deux carrés de côté p/2, car p est un nombre pair. On en déduit que le carré de q est pair et donc que q l'est aussi. Le nombre q est à la fois pair et impair, cette contradiction termine la démonstration.

Il existe aussi des versions plus expéditives de cette démonstration, faisant usage d'un savoir plus grand sur les fractions de nombres entiers.

Descente infinie

La démonstration présentée dans ce paragraphe est nécessairement plus tardive. Elle se fonde sur le principe de la descente infinie et sur l'égalité (√2 + 1)(√2 - 1) = 1. Pour les Grecs, une telle égalité n'a pas de sens, √2 n'est pas un nombre. En revanche, si p est la longueur d'une diagonale et q celle d'un côté d'un carré, elle se traduit directement par : (p + q)(p - q) = q. Elle devient une égalité entre l'aire d'un carré et celle d'un rectangle de base la somme d'une diagonale et d'un côté, et de hauteur la différence d'une diagonale et d'un côté d'un carré. Sous forme de proportion, on obtient :

Si le côté et la diagonale d'un carré sont commensurables, cela signifie qu'il existe une unité de longueur telle que p et q soient des entiers. En retirant 1 à cette double expression de la même fraction, on obtient :

Cette dernière égalité et le théorème de Thales indique que le triangle ABC de la figure de droite est semblable à A'B'C. On obtient un nouveau triangle rectangle isocèle avec des côtés entiers, plus petits que les précédents. En réitérant le processus, on obtient des triangles rectangles isocèles de plus en plus petits et ayant des côtés entiers. Leurs bases forment une suite d'entiers positifs strictement décroissante et infinie, ce qui est absurde.

On peut terminer plus rapidement la démonstration en supposant que l'unité est choisie la plus grande possible, ce qui revient à dire qu'avec cette convention, le triangle rectangle isocèle d'hypoténuse p et de cathète q est le plus petit possible avec des côtés entiers. La contradiction provient du fait que le triangle isocèle de base 2q - p et de côtés p - q possèdent aussi des côtés entiers et est rectangle, mais en plus il est plus petit. Avec notre langage algébrique, cette contradiction s'exprime de la manière suivante : si q est le plus petit entier tel que q√2 est entier, qui existe si √2 est rationnel, alors q√2 - q possède la même propriété et est pourtant plus petit.

Fraction continue

Une autre candidate pour être la première démonstration de l'irrationnalité de √2, met encore plus en valeur l'apport des Babyloniens et l'interprétation géométrique qu'en font les Grecs. On utilise encore les mêmes notations, p désigne la longueur de la diagonale et q du côté d'un carré. Cette fois, le raisonnement est direct et les longueurs p et q ne sont plus supposées entières. On construit un rectangle de base p + q et de hauteur q. La proportion p + q / q, égale à 1 + √2 est appelée proportion d'argent. Elle dispose de propriétés analogue à la proportion d'or.

L'objectif est de remplir le rectangle de carrés de côté le plus vaste possible, exactement comme pour une multiplication babylonienne. Le plus grand côté possible pour les premiers carrés est q, car la hauteur est égal à q. Comme p + q est plus grand que 2.q et strictement plus petit que 3q, on peut construire deux carrés de côté q, en rouge sur la figure. La zone restante (en bleu sur la figure) est un rectangle de côté q et p - q. Or on dispose de la formule :

Elle indique que le rectangle initial et le bleu sont semblables, la proportion entre les deux étant le rapport p + q / q. Il est alors possible de remplir la zone restante d'exactement deux carrés de taille maximale, comme précédemment et la zone restante est encore un rectangle semblable à l'initial. Finalement on obtient 2 carrés de côté q, puis 2 carrés de côté (p + q) / q fois plus petits que les premiers, puis 2 carrés de côté (p + q) / q fois plus petits que les précédents et la suite ne s'arrête jamais.

Dans le cas de grandeurs commensurables le comportement est différent. Il existe alors une unité telle que la longueur de la base et celle de la hauteur soient des entiers. Avec cette unité, les côtés des différents carrés sont toujours des entiers, ce qui garantit que la suite finit par s'arrêter, car les carrés ne peuvent devenir infiniment petits. Ainsi une fraction a/b est entière, si et seulement si la suite construite précédemment s'arrête. Cet algorithme, initialement conçu comme une manière de trouver une commune mesure entre deux longueurs entières, est présent chez Euclide, mais il devient une méthode pour déterminer son équivalent arithmétique, c'est à dire le PGCD de deux entiers. Ce critère n'est pas rempli pour la proportion p/q, cette proportion n'est pas rationnelle.

La construction de la suite 2, 2, 2, ... s'appelle pour les Grecs une anthyphérèse et maintenant la fraction continue de la proportion d'argent. Pour Maurice Caveing, cette anthyphérèse est probablement la première preuve complète de l'irrationnalité de √2. D'autres arguments convainquent le spécialiste Árpád Szabó du fait que cette démonstration serait aussi la première. Vu sous un angle plus algébrique, la suite 2, 2, 2, correspond exactement à la méthode de calcul babylonienne et porte le nom de dunámeis ou δυνάμεών chez les Grecs. Ce terme est ancien et se retrouve chez les Éléates, la première démonstration daterait de leur époque, qui est aussi celle des paradoxes de Zénon. Il est néanmoins peu probable qu'elle disposait originellement de la forme aboutie présentée ici.

Normalité

La normalité est un concept se basant sur la distribution des chiffres du développement décimal d’un nombre irrationnel, à savoir si tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent dans ce développement et avec la même fréquence. En ce qui concerne √2, on ignore s’il est normal dans le système décimal ou dans toute autre base de numération.

Degré algébrique et degré d'irrationalité

$\sqrt{2}$ est un nombre algébrique de degré 2, dit entier quadratique, car solution de l’équation polynômiale du second degré à coefficients entiers x² − 2 = 0 et de monôme dominant de coefficient égal à un, mais d’aucune de degré 1 de par son irrationalité. On sait ainsi qu’il est difficilement approchable par une suite rationnelle p_n/q_n ; l’erreur est en mieux en

|√2 − p_n/q_n| _1/qn~².

Comme pour tout nombre algébrique irrationnel, son degré d’irrationalité est 2.

Développement en fraction continue

√2 est relié à un certain nombre de développements en fractions continues périodiques, par propriété des entiers quadratiques.

√2 est relié au développement en fraction continue suivant

pour 2a² − b² = 1, (a, b) entiers strictement positifs. On notera ce développement de manière plus concise :

a√2 − b = [0; 2b, 2b, 2b, …]

On en tire les valeurs suivantes de √2 :

√2 = [1; 2, 2, 2, …].

√2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14, …]

√2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82, …]

Plus généralement, $\sqrt{2}$ se relie à la fraction continue généralisée suivante :

notée sous forme plus concise

a√2 − b = [0; k, 2b; k, 2b; k, 2b; …]

avec k = 2a² − b², et (a, b) entiers strictement positifs. On en déduit les quelques développements de $\sqrt{2}$ suivants :

√2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; -1, 6; …]

√2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34, -1, 34; …]

√2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180, -1, 180; …]

Éléments de démonstration : soit la suite (u_n) définie par la relation de récurrence u_{n + 1} = −k/(2b + u_n) et ε_n = |u_n − (a√2 − b)|. Alors on peut montrer que ε_{n + 1} < Kε_n, avec 1/|1 + 2b/(a√2 − b)| < K < 1 dans un voisinage de a√2 − b.

Développements en série et produit infini

Produits infinis

L’identité cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 et la représentation en produit infini du sinus et du cosinus mènent aux développements suivants

Le dernier produit peut s’écrire de manière équivalente :

Séries

Le nombre peut aussi être évalué sous forme de série en utilisant le développement de Taylor d’une fonction trigonométrique en $\left(\pi /4\right)$ :

On peut aussi utiliser la fonction $\sqrt{1+x}$ en 1 :

La convergence de la dernière série peut être accélérée par le biais d’une transformation d’Euler pour donner :

√2 vaut approximativement 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 7

Ces décimales constituent la suite A002193 de l’OEIS.

Le calcul d’une valeur approchante de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d’extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire.

Les méthodes numériques d’approximation présentées ci-dessous sont destinées au calcul d’un nombre important de décimales. Elles se basent généralement sur une suite convergente de nombres rationnels ; ainsi l’itération s’affranchit du coût de calcul sur des nombres à virgule flottante — dont il faudrait en plus connaître la précision a priori. Les meilleures approximations par une suite rationnelle p_n/q_n donnent une erreur en 1/q_n², une propriété de l’approximation diophantienne des entiers quadratiques.

Méthodes à convergence linéaire

Méthode de Théon de Smyrne

On doit à Théon de Smyrne ces deux suites (p_n) et (q_n) définies par récurrence :

p_{n + 1} = p_n + 2q_n,     p₀ = 1 ;

q_{n + 1} = p_n + q_n,     q₀ = 1.

Ces suites sont à valeur entière strictement positive, donc strictement croissantes par récurrence, et vérifient

p_n² − 2q_n² = (−1)(p₀² − 2q₀²)

de sorte que p_n/q_n tend vers √2.

On ne sait pas si l’intention de Théon de Smyrne était de calculer une valeur approchée de √2.

Solutions de l'équation diophantienne a²− 2b² = k

Les solutions entières de l’équation a² − 2b² = k sont générées par récurrence

a_{m + 1} = 3a_m + 4b_m

b_{m + 1} = 2a_m + 3b_m

à partir des valeurs initiales (a₀, b₀) = (1, 1) pour k = −1 et (3, 2) pour k = 1.

Cette méthode est déduite de celle de Théon : chaque itération de la présente correspond à deux itérations de celle-là. Ainsi, a_n/b_n tend linéairement vers √2.

Les premières solutions sont :

• k = −1 :  (1, 1),  (7, 5),  (41, 29),  (239, 169),  (1393,985),
• k =   1 :  (3, 2),  (17, 12),  (99, 70),  (577, 408),  (3363, 2378).

Les deux approximations mises en gras furent utilisées en pratique par les arpenteurs anciens :

• 28 : 20  avec l’erreur relative de – 1,0051 %, brièvement au début du III millénaire av. J.-C. par les Égyptiens Anciens (cf. le remen de construction) et
• 99 : 70  avec l’erreur relative de + 0,0051 %, tout au long de l’histoire et dans beaucoup de pays dans la triangulation rationnelle du carré selon les arpenteurs.

Méthode de Théon généralisée

On se donne (a, b), obtenues par la méthode de Théon, qui sont donc solutions de l’une des deux équations diophantiennes précédente 2b² = a² - k = K, avec k = ±1 et K> 1. On peut alors écrire

√2 = a/b √[K/(K + k)]

Les suites p_n et q_n définies par

p_{n + 1} = (2K + k)p_n + 2Kq_n,     p₀ = 1 ;

q_{n + 1} = (2K + 2k)p_n + (2K + k)q_n,     q₀ = 1.

vérifient

(K + k)p_{n + 1} - K q_{n + 1} = (K + k)p_n - K q_n = … = k,

et donc, de la même façon que ci-dessus, la suite p_n/q_n converge vers √[K/(K + k)]. De plus, si k = 1, cette suite est croissante donc approche cette valeur par défaut, et si k = -1, elle est décroissante donc approche cette valeur par excès.

On peut utiliser cette relation pour estimer l’erreur :

ε_{n + 1} ≈ ε_n (4K + 3k)

et c’est une majoration si k= 1. La convergence est donc linéaire : elle fait gagner un nombre à peu près constant de décimales à chaque itération.

Cette méthode correspond à une généralisation de la méthode du paragraphe précédent au radical √[K/(K + k)]. Pour K plus grand, la suite q_n croit plus rapidement, donc la convergence est accélérée.

Développement en fraction continue

Une autre méthode consiste à approcher a√2 − b par sa fraction continue généralisée pour (a, b) solutions de l’équation diophantienne 2a² = b² + k, avec k = ± 1 :

a√2 − b = [0; k, 2b; k, 2b; k, 2k, …].

m√2 − n est approximé à l’aide de la suite (p_n/q_n) déterminée par la relation de récurrence

p_{n + 1} = q_n

q_{n + 1} = 2bq_n + kp_n

L’erreur vérifie asymptotiquement

ε_{n + 1} < |a√2 − b|/(2b − 1) ε_n

Développement en série entière

On se donne (a, b) solutions de l’équation diophantienne 2a² = b² + k = K, avec k = ±1. On peut alors écrire √[K/(K − k)] comme somme d'une série via le développement en série entière de (1+z) (ou la formule du binôme généralisée, simple variante d'exposition).

et utiliser √2 = b/a √[K/(K − k)]

Dans le cas √2 = 7/5 √(50/49), ce développement se simplifie de façon remarquable comme l’a fait remarquer Leonhard Euler en 1755 :

Dichotomie

Il est possible d’approcher √2 par bissection. Cette méthode est de convergence linéaire lente : on gagne trois décimales à chaque dizaine d’itérations.

Méthode à convergence quadratique

La méthode de Newton appliquée à la fonction racine carrée permet de calculer une valeur approchée de √2 de manière itérative avec une convergence quadratique, c’est-à-dire doublant le nombre de décimales à chaque itération. La récurrence a la forme

u_{n + 1} = u_n/2 + 1/u_n

Cet algorithme s’appelle méthode de Héron ou méthode babylonienne car il semble que ce soit celle utilisée par les babyloniens pour trouver des valeurs approchées de racines carrées.

Si l’on s’intéresse aux fractions successives à partir d’une valeur initiale p₀ et q₀, la récurrence sur le numérateur et le dénominateur sont

p_{n + 1} = p_n² + 2q_n²

q_{n + 1} = 2p_nq_n

Méthodes cubiques

Méthode de Halley

Un exemple de méthode cubique s’obtient par l’itération de Halley. Elle cherche le zéro de f(x) = x² − 2 en utilisant les deux premières dérivées. La solution itérative est

x_{n + 1} = x_n × (x_n² + 6)/(3x_n² + 2)

soit en posant x_n = p_n/q_n :

p_{n + 1} = p_n(p_n² + 6q_n²)

q_{n + 1} = q_n(3p_n² + 2q_n²)

Cette méthode est de convergence cubique : le nombre de décimales exactes triple à chaque itération.

Méthode de Householder

L’itération de Householder appliquée à f(x) = 1/x² − 1/√2 donne une suite convergeant vers 1/√2 :

x_{n + 1} = x_n + x_n/8 × (2x_n² − 1)(6x_n² − 7)

Méthodes d'ordre supérieur

On utilise une méthode de Newton modifiée pour trouver le zéro de f(x) = 1/x² − 1/2. Cela donne la suite récurrente :

x_{n + 1} = x_n + x_n/16 × (8h_n + 6h_n² + 5h_n³)

avec

h_n = 1 − x_n²/2

Cette méthode est de convergence quartique, c’est-à-dire d’ordre 4 : le nombre de décimales exactes quadruple à chaque itération.

Il existe des méthodes d’ordre supérieur, notamment parmi les méthodes de Householder.