Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)

Restez toujours informé : suivez-nous sur Google (☆)

Introduction

En géométrie riemannienne, le lemme de Gauss permet de comprendre l'application exponentielle comme une isométrie radiale. Dans ce qui suit, soit M une variété riemannienne dotée d'une connexion de Levi-Civita (i.e. en particulier, cette connexion est symétrique et compatible avec la métrique de M).

Introduction

Nous avons défini sur M l'application exponentielle en $p \in M$ par

exp_{p} : T_{p} M \supset B_{ϵ} (0) ⟶ M, v ⟼ γ (1, p, v),

où on a dû restreindre le domaine T_pM de définition à une boule B_ε(0) de rayon ε > 0 et de centre 0 pour s'assurer que exp_p est bien définie et où γ(1,p,v) est le point $q \in M$ atteint en suivant l'unique géodésique γ passant par le point $p \in M$ avec la vitesse $\frac{v}{∣ v ∣} \in T_{p} M$ sur une distance $∣ v ∣$ . Nous remarquons très aisément que exp_p est un difféomorphisme local autour de $0 \in B_{ϵ} (0)$ . En effet, soit $α : I \to T_{p} M$ une courbe différentiable dans T_pM telle que α(0): = 0 et α'(0): = v. Comme $T_{p} M ≅ R^{n}$ , il est clair qu'on peut choisir α(t): = v**t. Dans ce cas, par la définition de la différentielle de l'exponentielle en 0 appliquée sur v, nous obtenons

T_{0} exp_{p} (v) = \frac{d}{d t} (exp_{p} \circ α (t))_{t = 0} = \frac{d}{d t} (exp_{p} (v t))_{t = 0} = \frac{d}{d t} (γ (1, p, v t))_{t = 0} = γ^{'} (t, p, v)_{t = 0} = v .

Le fait que exp_p soit un difféomorphisme local et que T₀exp_p(v) = v pour tout $v \in B_{ϵ} (0)$ nous permet d'affirmer que exp_p est une isométrie locale autour de 0, i.e.

⟨ T_{0} exp_{p} (v), T_{0} exp_{p} (w) ⟩_{0} = ⟨ v, w ⟩_{p} \forall v, w \in B_{ϵ} (0) .

Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule $B_{ϵ} (0) \subset T_{p} M$ avec un petit voisinage autour de $p \in M$ . Nous sommes déjà contents de voir que exp_p est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !

Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule $B_{ϵ} (0) \subset T_{p} M$ avec un petit voisinage autour de $p \in M$ . Nous sommes déjà contents de voir que $\exp_p\$ est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !

Lemme de Gauss : l'exponentielle comme isométrie radiale

Soit $p \in M$ . Dans ce qui suit, nous faisons l'identification $T_{v} T_{p} M ≅ T_{p} M ≅ R^{n}$ . Le lemme de Gauss dit :

Soient $v, w \in B_{ϵ} (0) \subset T_{v} T_{p} M ≅ T_{p} M$ et $M ∋ q := exp_{p} (v)$ . Alors,

⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w) ⟩_{v} = ⟨ v, w ⟩_{q} .

Pour $p \in M$ , ce lemme signifie que $\exp_p\$ est une isométrie radiale dans le sens suivant : soit $v \in B_{ϵ} (0)$ , i.e. tel que $\exp_p\$ est bien définie. De plus, soit $q := exp_{p} (v) \in M$ . Alors, l'exponentielle $\exp_p\$ reste une isométrie en $q\$ , et, plus généralement, tout au long de la géodésique $\gamma\$ (pour autant que $\gamma(1,p,v)=\exp_p(v)\$ soit bien définie) ! Donc, radialement, dans toutes les directions permises par le domaine de définition de $\exp_p\$ , celle-ci reste une isométrie.

Preuve

Rappelons que

T_{v} exp_{p} : T_{p} M ≅ T_{v} T_{p} M \supset T_{v} B_{ϵ} (0) ⟶ T_{q} M .

Nous procédons en trois étapes :

$T_v\exp_p(v)=v\$ : construisons une courbe $α : R \supset I \to T_{p} M$ telle que $α (0) := v \in T_{p} M$ , $α^{'} (0) := v \in T_{v} T_{p} M ≅ T_{p} M$ et | v | = cst**e. Comme $T_{v} T_{p} M ≅ T_{p} M ≅ R^{n}$ , on peut poser $\alpha(t):=e^tv\$ . Alors,

T_{v} exp_{p} (v) = \frac{d}{d t} (exp_{p} \circ α (t))_{t = 0} = \frac{d}{d t} γ (t, p, v)_{t = 0} = v .

Calculons maintenant le produit scalaire $⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w)⟩$ .

Décomposons $w\$ en une composante $w_T\$ tangente à $v\$ et une composante $w_N\$ normale à $v\$ . En particulier, posons $w_T:=\alpha v\$ , $α \in R$ .

L'étape précédente implique alors directement :

⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w)⟩ = ⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w_{T})⟩ + ⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w_{N})⟩ = α ⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (v)⟩ + ⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w_{N})⟩ = ⟨ v, w_{T} ⟩ + ⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w_{N})⟩ .

Il faut donc montrer que le second terme est nul, car, selon le lemme de Gauss, on devrait avoir

⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w_{N})⟩ = ⟨ v, w_{N} ⟩ = 0.

$⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w_{N})⟩ = 0$ :

définissons la courbe

α :] - ϵ, ϵ [\times [0, 1] ⟶ T_{p} M, (s, t) ⟼ t \cdot v (s),

avec $v(0):=v\$ et $v'(0):=w_N\$ . On remarque au passage que

α (0, 1) = v (0) = v, \frac{\partial α}{\partial t} (0, t) = v (0) = v, \frac{\partial α}{\partial s} (0, t) = t w_{N} .

Posons alors

f :] - ϵ, ϵ [\times [0, 1] ⟶ M, (s, t) ⟼ exp_{p} (t \cdot v (s)),

et calculons :

T_{v} exp_{p} (v) = T_{α (0, 1)} exp_{p} (\frac{\partial α}{\partial t} (0, 1)) = \frac{\partial}{\partial t} (exp_{p} \circ α (s, t))_{t = 1, s = 0} = \frac{\partial f}{\partial t} (0, 1)

T_{v} exp_{p} (w_{N}) = T_{α (0, 1)} exp_{p} (\frac{\partial α}{\partial s} (0, 1)) = \frac{\partial}{\partial s} (exp_{p} \circ α (s, t))_{t = 1, s = 0} = \frac{\partial f}{\partial s} (0, 1) .

Donc,

⟨ T_{v} exp_{p} (v), T_{v} exp_{p} (w_{N})⟩ = ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial s} ⟩ (0, 1) .

On va vérifier maintenant que ce produit scalaire est en fait indépendant de la variable t, et donc que, par exemple,

⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial s} ⟩ (0, 1) = ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial s} ⟩ (0, 0) = 0,

car, selon ce qui a été donné plus haut,

t \to 0 lim \frac{\partial f}{\partial s} (t, 0) = t \to 0 lim T_{t v} exp_{p} (t w_{N}) = 0

étant donné que la différentielle est une application linéaire ! Ceci prouverait alors le lemme.

On vérifie que $\frac{\partial}{\partial t} ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial s} ⟩ = 0$ : c'est du calcul direct. En effet, on prend d'abord conscience du fait que les applications $t \mapsto f (s, t)$ sont des géodésiques, i.e. $\frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial t} = 0$ . Alors,

\frac{\partial}{\partial t} ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial s} ⟩ = ⟨ = 0 \frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial s} ⟩ + ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{D}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial s} ⟩ = ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{D}{\partial s} \frac{\partial f}{\partial t} ⟩ = \frac{\partial}{\partial s} ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t} ⟩ - ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{D}{\partial s} \frac{\partial f}{\partial t} ⟩ .

Donc, en particulier,

0 = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial s} ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t} ⟩ = ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{D}{\partial s} \frac{\partial f}{\partial t} ⟩ = \frac{\partial}{\partial t} ⟨ \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial s} ⟩,

car on a | v | = cst**e.