Connexion de Levi-Civita

En géométrie riemannienne, la connexion de Levi-Civita est une connexion de Koszul naturellement définie sur toute variété riemannienne ou par extension sur toute variété pseudo-riemannienne. Ses propriétés caractérisent la variété riemannienne. Notamment, les géodésiques, courbes minimisant localement la distance riemannienne, sont exactement les courbes pour lesquelles le vecteur vitesse est parallèle. De plus, la courbure de la variété se définit à partir de cette connexion ; des conditions sur la courbure imposent des contraintes topologiques sur la variété.

La connexion de Levi-Civita est appelée en référence au mathématicien italien Tullio Levi-Civita qui a introduit les concepts de transport parallèle pour les besoins de la relativité générale.

Une métrique pseudo-riemannienne g de classe C sur une variété différentielle M est la donnée d'une famille g_x de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur les espaces tangents T_xM, de sorte que pour tous champs de vecteurs X et Y de clase C, la fonction g(X,Y) soit de classe C. La signature de g est localement constante sur U. La métrique g est dite riemannienne si en tout point x la forme g_x est (définie) positive.

Il existe une unique connexion de Koszul $\nabla$ sur T_xM, appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les conditions :

1. $\nabla$ est sans torsion : pour tous champs de vecteurs X et Y, ${\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y]$ ;
2. et g est parallèle : pour tous champs de vecteurs X, Y et Z, on a :

$Z\cdot g(X,Y)=g({\nabla }_{Z}X,Y)+g(X,{\nabla }_{Z}Y)$.

La démonstration donnée dans la boite déroulante donne une expression implicite de la connexion de Levi-Civita. Toutefois, cette expression est souvent peu utile. Seules les propriétés énoncées dans sa définition suffisent.

Métriques induites

Métriques conformes

La connexion de Levi-Civita de e.g est donnée par :