Lemme des noyaux

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Introduction

En algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u, les projecteurs associés étant eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable s'il est annulé par un polynôme à racines simples.

Enoncé

Lemme des noyaux — Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Si $P_{1}, \dots, P_{n} \in K [X]$ (avec $n \in N^{*}$ ) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels V_i = ker(P_i(f)) (où $1 \leq i \leq n$ ) sont en somme directe et

i = 1 ⨁ n ker [P_{i} (f)] = ker [(i = 1 \prod n P_{i}) (f)] .

De plus, la projection sur V_i parallèlement à $⨁_{j \neq = i} V_{j}$ est Q_i(u) pour un polynôme Q_i.

Démonstration

Par récurrence sur n. On pose

P = i = 1 \prod n P_{i} .

Initialisation

On suppose n = 2. On a alors P = P₁P₂. D'après le théorème de Bézout, il existe $(U_{1}, U_{2}) \in (K [X])^{2}$ tel que U₁P₁ + U₂P₂ = 1. On en déduit que (U₁P₁ + U₂P₂)(f) = id_E (id_E désignant l'application identité de E).

Soit $x \in ker P_{1} (f) \cap ker P_{2} (f)$ . On a , donc $ker P_{1} (f) \cap ker P_{2} (f) = {0}$ .

Soit $x \in ker P (f)$ . On a alors x = [(U₁P₁)(f)](x) + [(U₂P₂)(f)](x). Or

P_{2} (f) {[(U_{1} P_{1}) (f)] (x)} = [(U_{1} P_{1} P_{2}) (f)] (x) = [U_{1} (f) \circ P (f)] (x) = 0;

ce qui montre que $[(U_{1} P_{1}) (f)] (x) \in ker P_{2} (f)$ . De même, on montre que $[(U_{2} P_{2}) (f)] (x) \in ker P_{1} (f)$ .

On en déduit donc que

ker P (f) = ker P_{1} (f) \oplus ker P_{2} (f) .

Hérédité

Supposons le lemme des noyaux démontré pour un $n \in N - {0, 1}$ . On a $P = P_{1} P_{2} \dots P_{n + 1}$ . On pose $Q_{1} = P_{1} P_{2} \dots P_{n}$ et Q₂ = P_{n + 1}. On a donc P = Q₁Q₂. Les polynômes Q₁ et Q₂ sont premiers entre eux, donc d'après l'étude ci-dessus, on a $ker P (f) = ker Q_{1} (f) \oplus ker Q_{2} (f)$ . Or en appliquant l'hypothèse de récurrence, . Finalement,

ker P (f) = ker Q_{1} (f) \oplus ker Q_{2} (f) = [ker P_{1} (f) \oplus \dots \oplus ker P_{n} (f)] \oplus ker P_{n + 1} (f) = i = 1 ⨁ n + 1 ker P_{i} (f);

ce qui montre que le lemme des noyaux est vrai pour n + 1.

Applications

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Soit $P \in K [X]$ un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme caractéristique, d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et $\prod_{i = 1}^{n} P_{i}$ une factorisation de P dont les facteurs sont deux à deux premiers entre eux. Alors il existe une base $B$ de E et des matrices $A_{i} \in M_{n_{i}} (K)$ telles que

Mat_{B} (f) = (A_{1} 0 \dots 00 A_{2} \dots 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 \dots A_{n});

où n_i = dimkerP_i(f).