Loi multinomiale

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Introduction

Multinomiale
Paramètres	n > 0 nombre d'épreuves (entier) $p_{1}, \dots p_{m}$ probabilités des événements (Σp_i = 1)
Support	$N_{i} \in {1, \dots, m}$ $Σ N_{i} = n$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{n !}{n _{1} ! \dots n _{m} !} p_{1}^{n_{1}} \dots p_{m}^{n_{m}}$
Espérance	E{X_i} = np_i
Variance	Var(X_i) = np_i(1 − p_i) Cov(X_i,X_j) = − np_ip_j ( $i \neq = j$ )
Fonction génératrice des moments	$(\sum_{i = 1}^{m} p_{i} e^{t_{i}})^{n}$

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Contrairement à ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont généralement pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale

La fonction de probabilité de la variable aléatoire binomiale $X$ qui s'écrit

P (X = x) = \frac{n !}{x ! ( n - x )!} p^{x} (1 - p)^{n - x}

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

N_{1} = X N_{2} = n - X p_{1} = p p_{2} = 1 - p

P (N_{1} = n_{1}, N_{2} = n_{2}) = \frac{n !}{n _{1} ! n _{2} !} p_{1}^{n_{1}} p_{2}^{n_{2}}

Généralisation

Dans le cas multinomial à $m$ résultats possibles au lieu de 2, les variables deviennent $N_{i}$ , $i = {1, \dots, m}$ et correspondent aux probabilités $p_{i}$ , $i = {1, \dots, m}$ avec les contraintes

i = 1 \sum m N_{i} = n i = 1 \sum m p_{i} = 1

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

P (N_{1} = n_{1}, \dots N_{m} = n_{m}) = \frac{n !}{n _{1} ! \dots n _{m} !} p_{1}^{n_{1}} \dots p_{m}^{n_{m}}

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

E [N_{i}] = n p_{i} v a r [N_{i}] = n p_{i} (1 - p_{i})

tandis que les covariances s'écrivent

co v [N_{i}, N_{j}] = - n p_{i} p_{j}

Approximation

Lorsque la variable aléatoire $N_{i}$ devient assez grande, le théorème de la limite centrale montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite .

Si ces variables étaient indépendantes, $\sum_{i = 1}^{m} \frac{( N _{i} - n p _{i} ) ^{2}}{n p _{i} ( 1 - p _{i} )}$ suivrait une loi du $χ^{2}$ à $m$ degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable $\sum_{i = 1}^{m} \frac{( N _{i} - n p _{i} ) ^{2}}{n p _{i}}$ suit une loi du $χ^{2}$ à $(m - 1)$ degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².