Loi uniforme discrète

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Introduction

Loi uniforme discrète


Paramètres	$a \in (..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ...)$ $b \in (..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ...)$ $n = b - a + 1$
Support	$k \in {a, a + 1, ..., b - 1, b}$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\begin{matrix} \frac{1}{n} & \mbox{pour }a\le k \le b\ \0 & \mbox{sinon } \end{matrix}$
Fonction de répartition	$\begin{matrix} 0 & \mbox{pour }k<a\ \frac{k-a+1}{n} & \mbox{pour }a \le k \le b \1 & \mbox{pour }k>b \end{matrix}$
Espérance	$\frac{a + b}{2}$
Médiane (centre)	$a + n /2$
Mode	N/A
Variance	$\frac{n ^{2} - 1}{12}$
Asymétrie (statistique)	$0$
Kurtosis (non-normalisé)	$\frac{9 ( n ^{2} + 1 )}{5 ( n ^{2} - 1 )}$
Entropie	$ln (n)$
Fonction génératrice des moments	$\frac{e ^{a t}}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} e^{k t}$
Fonction caractéristique	$\frac{e ^{ia t}}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} e^{ik t}$

En théorie des probabilités, la loi discrète uniforme est une loi de probabilité discrète indiquant une probabilité de se réaliser identique (équiprobabilité) à chaque valeur d’un ensemble fini de valeurs possibles.

Description

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs possibles k₁ ,k₂ , ... , k_n équiprobables, suit une loi uniforme lorsque la probabilité de n’importe quelle valeur k_i est égale à 1/n .

Un exemple simple de loi discrète uniforme est le lancer d’un dé honnête. Les valeurs possibles de k sont 1, 2, 3, 4, 5, 6; et à chaque fois que le dé est lancé, la probabilité d’un score donné est égale à 1/6.

Dans le cas où les valeurs d’une variable aléatoire suivant une loi discrète uniforme sont réelles, il est possible d’exprimer la fonction de répartition en termes de distribution déterministe ; ainsi

F (k; a, b, n) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n H (k - k_{i})

où H(x-x₀ ) désigne la fonction marche de Heaviside, est la fonction de répartition (ou distribution cumulative) de la distribution déterministe centrée en x₀ , aussi appelée masse de Dirac en x₀ . Cela suppose que les hypothèses suffisantes soient vérifiées aux points de transition.

Cas général

Une variable aléatoire X prenant toutes les valeurs possibles d'un ensemble A (de cardinal #A=n ) avec équiprobabilité sera dite uniforme sur A.

Cas particulier important

La table ci-contre concerne la loi uniforme sur un ensemble de n entiers consécutifs, qui n'est qu'un cas particulier de loi uniforme, mais un cas particulier important : cela correspond à

A = [[a, b]], n = b - a + 1.

Calcul de probabilités et d'espérance (cas général)

Si X suit la loi uniforme sur un ensemble fini A, on dit parfois que la loi de X est $\scriptstyle\ \mathbb{U}_A.\$ On note

\ \mathbb{P}(X=x)\ =\ \mathbb{U}_A(\{x\})\ =\ \frac{1\!\!1_A(x)}{\#A},\

où $\scriptstyle\ 1\!\!1_A(.)\$ désigne la fonction indicatrice de l'ensemble A. D'un point de vue pratique,

P (X \in B) = x \in B \sum \frac{1 1 _{A} ( x )}{# A} = \frac{# ( A \cap B )}{# A} .

Pour une fonction φ définie sur A, à valeurs réelles, on a :

E [ϕ (X)] = \frac{1}{# A} x \in A \sum ϕ (x) .

L'espérance de φ(X) est donc la valeur moyenne de φ sur A. En utilisant les notations classiques de théorie de la mesure, on traduira cela par :

P_{X} = U A = \frac{1}{# A} \sum x \in A δ_{x},

où δ_x désigne la masse de Dirac en x, qui a pour fonction de répartition la fonction marche de Heavyside évoquée plus haut.