Un nombre cyclique, ou nombre phénix, est un entier dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux multiples du nombre. Le plus connu est 142857:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Si les zéros ne sont pas permis au début des nombres, alors 142857 est le seul nombre cyclique décimal. Par contre, s'ils sont permis, la séquence des nombres cycliques commence comme suit :
142857 (6 chiffres)
0588235294117647 (16 chiffres)
052631578947368421 (18 chiffres)
0434782608695652173913 (22 chiffres)
0344827586206896551724137931 (28 chiffres)
0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 chiffres)
0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 chiffres)
016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 chiffres)
Pour être cyclique, seuls les multiples successifs du nombre doivent être considérés et ceux-ci doivent correspondre à des permutations circulaires du nombre. Ainsi, le nombre 076923 n'est pas considéré comme cyclique, même si toutes ses permutations circulaires sont des multiples, car ceux-ci ne sont pas successifs :
076923 × 1 = 076923
076923 × 3 = 230769
076923 × 4 = 307692
076923 × 9 = 692307
076923 × 10 = 769230
076923 × 12 = 923076
Cette restriction exclut aussi des cas triviaux tels :
Les chiffres uniques peuvent être considérés comme des nombres cycliques triviaux ou dégénérés.
Les nombres cycliques sont liés aux décimales récurrentes des fractions unitaires. En général, pour un nombre cyclique de longueur L, le développement décimal de
1/(L + 1)
a une période de L, et répète le nombre cyclique.
Par exemple :
1/7 = 0.142857142857…
Les multiples de ces fractions présentent des permutations circulaires :
1/7 = 0.142857142857…
2/7 = 0.285714285714…
3/7 = 0.428571428571…
4/7 = 0.571428571428…
5/7 = 0.714285714285…
6/7 = 0.857142857142…
En contrepartie, si la période du développement décimal de 1/p est
p − 1,
alors les chiffres répètent un nombre cyclique.
En s'appuyant sur leur relation aux fractions unitaires, on démontre que les nombres cycliques sont de la forme
où b est la base (10 dans le cas du système décimal) et p est un nombre premier ne divisant pas b. Les nombres premiers p qui génèrent des nombre cycliques sont appelés nombres premiers longs.
Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857.
Toutes les valeurs de p ne généreront pas forcément un nombre cyclique selon cette formule; par exemple p = 13 donne 076923076923. Ces cas erronés contiendront toujours une ou plusieurs répétition de chiffres.
Les premières valeurs de p pour lesquels cette formule produit un nombre cyclique en notation décimale sont (séquence A001913 dans l'OEIS) :
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …
Le patron de cette séquence est issu de la théorie algébrique des nombres. Plus spécifiquement, cette séquence est définie comme l'ensemble des nombres premiers p tels que 10 est une racine primitive modulo p. Une conjecture d'Emil Artin [1] postule que cette séquence contiendrait 37.395..% des nombres premiers.
Les nombres cycliques peuvent être construits par l'algorithme suivant :
Soit b la base (10 en base décimale).
Soit p un nombre premier ne divisant pas b.
Soit t = 0.
Soit r = 1.
Soit n = 0.
Répéter ce qui suit :
Soit t = t + 1
Soit x = r · b
Soit d = int(x / p)
Soit r = x mod p
Soit n = n · b + d
Si r ≠ 1, répéter.
Si t = p − 1 alors n est un nombre cyclique.
Cette procédure fonctionne en calculant les décimales de 1/p en base b, par division longue. r est le reste à chaque étape et d est la décimale produite.
L'étape
n = n · b + d
sert uniquement à colliger les chiffres. Pour les ordinateurs incapables d'opérer sur des nombres entiers très grands, les chiffres doivent être exprimés ou conservés autrement.
Il est notable que si t excède p/2, le nombre est forcément cyclique, sans besoin de calculer les chiffres restants.
14 28 56 112 224 448 + 896 ------------------- 142857142857...
En utilisant la technique décrite plus haut, on peut trouver les nombres cycliques d'autres bases arithmétiques. On doit noter toutefois que toutes les bases ne respectent pas forcément la seconde règle (les multiples successifs doivent tous être des permutations circulaires) indiquée dans la section des cas spéciaux ci-dessus.
En base binaire, la séquence des nombres cycliques commence comme suit :
01
0011
0001011101
000100111011
000011010111100101
En base ternaire :
0121
010212
0011202122110201
001102100221120122
0002210102011122200121202111
En base octale :
25
1463
0564272135
0215173454106475626043236713
0115220717545336140465103476625570602324416373126743
En base duodécimale :
2497
186A35
08579214B36429A7
En base 24 :
3A6LDH
248HAMKF6D
1L795CN3GEJB
19M45FCGNE2KJ8B7
Noter qu'en notation ternaire (b = 3), le cas p = 2 génère 1 comme nombre cyclique. Bien que les chiffres uniques puissent être considérés des cas triviaux, il peut être utile, pour la complétude de la théorie, de les considérer, mais uniquement lorsqu'ils sont générés de cette façon.
On peut démontrer qu'aucun nombre cyclique (autre que les chiffres uniques triviaux) d'aucune base arithmétique n'est un carré parfait ; ainsi il n'y a aucun nombre cyclique en base hexadécimale.