Nombre hyperparfait

En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un nombre naturel n pour lequel l'égalité $n=1+k(\sigma (n)-n-1)$ reste valable, où $\sigma (n)$ est la fonction diviseur (c.a.d., la somme de tous les diviseurs positifs de n). Un nombre est parfait ssi il est 1-hyperparfait.

Les premiers petits nombres dans la suite des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières), avec les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite A034898 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières). Les premiers petits nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suiteA007592 sur l'Encyclopédie électronique des suites entières).

La table suivante liste les premiers petits nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :

Il peut être montré que si $k>1$ est un nombre entier impair et $p=\frac{(3k+1)}{2}$ et $q=3k+4$ sont des nombres premiers, alors $p^2.q$ est k-hyperparfait; Judson S. McCraine a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour $k>1$ impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, il peut être démontré que si $p\ne q$ sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que $k(p+q)=p.q-1$, alors p.q est k-hyperparfait.

Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et $p=k+1$ est premier, alors pour tout i > 1 tel que $q=p^i-p+1$ est premier, $n=p^{i-1}.q$ est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :