Nombre parfait

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Introduction

Un nombre parfait est un nombre naturel n non nul qui est égal à la somme de ses diviseurs stricts, autrement dit, tel que $σ (n) = n$ où σ(n) est la somme des diviseurs entiers positifs de n, n non compris.

Le premier nombre parfait est 6, car 1, 2, et 3 sont les diviseurs stricts de 6 et 1 + 2 + 3 = 6.

Nombres parfaits pairs

Dans le Livre IX de ses Éléments, le mathématicien Euclide, au III siècle av. J.-C., a prouvé que si $M = 2^{p} - 1$ est premier, alors $(\frac{M + 1}{2}) \cdot M = 2^{p - 1} (2^{p} - 1)$ est parfait.

Ainsi :

6 = 2(2 − 1)
28 = 2(2 − 1)
496 = 2(2 − 1)
8128 = 2(2 − 1)
...

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIII siècle, a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2-1).

Il est établi que tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux .

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2(2 − 1), ce sont des nombres triangulaires, et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang, en l'occurrence 2 − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2 premiers cubes impairs :

6 = 2^{1} (2^{2} - 1) = 1 + 2 + 3,

28 = 2^{2} (2^{3} - 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1^{3} + 3^{3},

496 = 2^{4} (2^{5} - 1) = 1 + 2 + 3 + \dots + 29 + 30 + 31 = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + 7^{3},

8128 = 2^{6} (2^{7} - 1) = 1 + 2 + 3 + \dots + 125 + 126 + 127 = 1^{3} + 3^{3} + 5^{3} + 7^{3} + 9^{3} + 1 1^{3} + 1 3^{3} + 1 5^{3} .

Le reste de la division d'un nombre parfait pair (à l'exception de 6) par 9 vaut 1. Ceci veut dire que le résidu d'un tel nombre vaut 1. Par exemple, le résidu de 8128 vaut 1, puisque 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, et 1 + 0 = 1.

Nombres parfaits impairs

En 2009, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe.

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes :

N > 10. Une recherche est en cours pour prouver que N > 10.
N est de la forme

N = q^{α} p_{1}^{2 e_{1}} \dots p_{k}^{2 e_{k}}

où :

q, p₁, …, p_k sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ;
Le plus petit facteur premier de N est inférieur à (2k + 8) / 3 (Grün 1952) ;
La relation e₁≡e₂≡...≡e_k ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite (McDaniel 1970) ;
q > 10 ou $p_{j}^{2 e_{j}}$ > 10 pour j quelconque (Cohen 1987) ;
$N < 2^{4^{k + 1}}$ (Nielsen 2003).
Si e_i ≤ 2 pour tout i :
Le plus petit diviseur premier de N est au moins 739 (Cohen 1987) ;
α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12) (McDaniel 1970).
Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à 10 (Takeshi Goto et Yasuo Ohno, 2006).
Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à 10 et le troisième est plus grand que 100 (Iannucci 1999, 2000).
N comporte au moins 75 diviseurs premiers et au moins 9 diviseurs premiers distincts. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts (Nielsen 2006 ; Kevin Hare 2005).

Exemples

Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité. Depuis, le total est passé à 46 nombres parfaits seulement (au 7 octobre 2008).

Les douze premiers nombres parfaits sont :

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064
33 550 336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 191 + 16 382 + 32 764 + 65 528 + 131 056 + 262 112 + 524 224 + 1 048 448 + 2 096 896 + 4 193 792 + 8 387 584 + 16 775 168
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216
13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128
14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128

Propriétés mineures

Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :

Un nombre parfait impair n'est pas divisible par 105 (Kühnel 1949).
Un nombre parfait impair est de la forme 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117 (Roberts 2008).
Le seul nombre parfait pair de la forme x + 1 est 28 (Makowski 1962).
Un nombre de Fermat ne peut être parfait (Luca 2000).
La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2:
Pour 6, 1 / 6 + 1 / 3 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2;
Pour 28, 1 / 28 + 1 / 14 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2
Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait (pair ou impair) est pair, puisque N ne peut être un carré parfait).
De ces deux résultats on déduit que tout nombre parfait est un nombre à moyenne harmonique entière.

Notions apparentées

Si la somme des diviseurs est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.