Nombre de Fermat

Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme 2 + 1, avec n entier. Le n nombre de Fermat, 2 + 1, est noté F_n.

Ces nombres doivent leur nom au mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F₅ étant composé, de même que tous les nombres de Fermat jusqu'à F₃₂. On ne sait pas si les nombres à partir de F₃₃ sont premiers ou composés. Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont donc F₀, F₁, F₂, F₃ et F₄.

Ces nombres disposent de propriétés intéressantes, en général issues de l'arithmétique modulaire ; en particulier, Carl Friedrich Gauss a établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.

En 1640, dans une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy , Pierre de Fermat énonce, et probablement démontre son petit théorème : « Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long ». Ce théorème lui permet d'étudier les nombres portant maintenant son nom. Dans cette même lettre, il émet la conjecture que ces nombres sont tous premiers sans parvenir à trouver une preuve « ... je n'ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition ». Cette hypothèse le fascine, deux mois plus tard, dans une lettre à Marin Mersenne , il écrit : « Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537... sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part ». Il écrit encore à Blaise Pascal  : « je ne vous demanderais pas de travailler à cette question si j'avais pu la résoudre moi-même ». Dans une lettre à K. Digby, non datée mais envoyée par Digby à Wallis le 16 juin 1658, Fermat donne encore sa conjecture comme non démontrée. Toutefois, dans une lettre de 1659 à Caracavi, il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvé une démonstration.

Cette conjecture se révèlera fausse, c'est d'ailleurs la seule conjecture erronée de Fermat. Leonhard Euler présente un diviseur de F₅ en 1732. Il ne dévoile la construction de sa preuve que quinze ans plus tard. Elle correspond exactement aux travaux de Fermat lui ayant permis de démontrer en 1640 la non primalité des candidats de paramètres 23 et 37 pour les nombres de Mersenne.

Premières propriétés

La suite des nombres de Fermat possède plusieurs relations de récurrence. On peut citer par exemple si n est supérieur ou égal à 2 :

• $F_n=(F_{n-1}-1{)}^2+1ou{F}_n=F_{n-1}^2-2(F_{n-2}-1{)}^2$

Ou encore, avec des produits de nombres de Fermat :

• $F_n={\prod }_{i=0}^{n-1}{F}_i+2ou{F}_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}{\prod }_{i=0}^{n-2}{F}_i$

On en déduit le théorème de Goldbach affirmant que :

• Deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

Soit D(n, b) le nombre de chiffres utilisés pour écrire F_n en base b.

• La valeur de D*(n,b) est donnée par la formule suivante :*

Les crochets désignent la fonction partie entière et log_b le logarithme de base b.

• Aucun nombre de Fermat n'est somme de deux nombres premiers à l'exception de F*₁ = 2 + 3.*
• Aucun nombre de Fermat n'est la différence de deux puissances de nombres premiers impairs.
• La somme des inverses de tous les nombres de Fermat est irrationnelle.

Nombre de Fermat et primalité

La raison historique de l'étude des nombres de Fermat est la recherche de nombres premiers. Fermat connaissait déjà la proposition suivante :

• Soit k un entier, le nombre 2 + 1 est un nombre premier seulement si k est une puissance de deux.

Pierre de Fermat a conjecturé que la réciproque était vraie, il a montré que :

F₀ = 3 est premier

F₁ = 5 est premier

F₂ = 17 est premier

F₃ = 257 est premier

et F₄ = 65537 est premier

Actuellement, on ne connaît que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cités ci-dessus.

On ignore encore s'il en existe d'autres, mais on sait que les nombres de Fermat F_n, pour n entre 5 et 32, sont tous composés ; F₃₃ est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s'il est premier ou composé.

Le plus grand nombre de Fermat dont on sait qu'il est composé est actuellement F_{2 478 782}.

Factorisation des nombres de Fermat composés

Euler utilise une méthode de Fermat pour démontrer que F₅ n'est pas premier. Il démontre pour cela trois propositions :

• Un facteur premier du nombre de Fermat F*_n est de la forme* k. 2 + 1 où k est un entier impair, et m > = n + 2.

• L'entier k de la proposition précédente possède un facteur premier impair.

• F₅ est divisible par 641.

Le cas général est un problème difficile du fait de la taille des entiers F_n, même pour des valeurs relativement faibles de n. À la date du ..., le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est F₁₁, dont le plus grand des cinq diviseurs premiers a 560 chiffres (la factorisation complète de F_n, pour n entre 5 et 10, est, elle aussi, entièrement connue). En ce qui concerne F₁₂, on sait qu'il est composé mais c'est, à la date du 27 mars 2010, le plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complète. Quant à F₂₀, c'est, à la date du 3 février 2010, le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaisse aucun diviseur premier

Carl Friedrich Gauss a établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et seulement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers distincts.

Par exemple, le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de même, un polygone à 340 côtés est constructible à la règle et au compas puisque 340 = 2.F₁.F₂.

Il est possible de généraliser une partie des résultats obtenus pour les nombres de Fermat.

Pour que m = a + 1 soit premier, a doit être pair (a = 2k) et b une puissance de 2 (b = 2).

On appelle ces nombres les nombres de Fermat généralisés.

• Michal Křížek, Florian Luca et Lawrence Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Springer, New York, 2001, 257 p. (Contient une bibliographie étendue.)