Parallélogramme

Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.

• Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
• Le point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie et de gravité.
• Ses côtés opposés ont la même longueur.
• Ses angles opposés ont la même mesure.
• Ses angles consécutifs sont complémentaires (additionnés, ils font 180°).
• Les aires des triangles qui le compose sont egales
• Ses côtés opposés sont paralleles.

Les propriétés précédentes peuvent aussi servir à reconnaître un parallélogramme dans un quadrilatère donné, en voici une autre :

• Il est non croisé et deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur (on reconnaît ici la définition vectorielle).

• Les losanges, les rectangles et les carrés sont des parallélogrammes particuliers.

Soient $b$ la longueur d'un côté du parallélogramme et $h$ la longueur de la hauteur associée.L'aire $A$ du parallélogramme vaut :
$A=b\times h$

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :

• on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
• deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ;

on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;

dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi « le même sens ».

La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.

• on appelle vecteur $\overrightarrow{AB}$ la classe d'équivalence des bipoints équipollents à (A,B) ;

le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est l'ensemble des bipoints satisfaisant la relation d'équipollence avec (A,B).

L'antiparallélogramme est un quadrilatère croisé qui possède 2 petits côtés et 2 grands côtés dans lequel les 2 grands côtés sont croisés. Il possède une propriété intéressante.