Pendule inversé

En physique, un pendule inversé est un pendule simple. Il présente une position d'équilibre instable s'il est maintenu vertical à 180°, mais cette position est maintenue par un système de contrôle ou par excitation de Kapitza. C'est un problème de physique non-linéaire.

La situation est exactement la même que celle décrite pour le pendule simple, en considérant une tige rigide mais de masse négligeable. On définit donc :

• θ l'angle formé entre la tige et la verticale ;
• m la masse du pendule ;
• l la longueur de la tige ;
• g l'accélération de la pesanteur ;

On note les dérivées temporelles par un point :

$\dot{\theta }=\frac{d\theta }{dt}$ et $\ddot{\theta }=\frac{d\dot{\theta }}{dt}$.

On peut alors établir la période des oscillations :

${\omega }_0^2=\frac{g}{l}$.

L'énergie cinétique est :

$E_c=\frac{m{l}^2{\dot{\theta }}^2}{2}$.

L'énergie potentielle de gravité :

E_p = mgl(1 − cosθ).

Si le pendule est laissé libre, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique, E = E_c + E_p. Alors, on obtient :

$\ddot{\theta }+{\omega }_0^2\sin \theta =0$.

La différence avec le pendule simple est que l'on s'intéresse à la situation θ ≈ π [2π] ; cela correspond à un maximum de l'énergie potentielle, c'est-à-dire à un équilibre instable.

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne : en notant x(t) la position du chariot, θ(t) l'angle formé entre la tige et la verticale, le système étant soumis à la gravité et à une force F, extérieure et selon l'axe x, le lagrangien est :

L = T − V

avec T l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle. On a ainsi :

avec v₁ la vitesse du chariot et v₂ celle de la masse m. On peut exprimer v₁ et v₂ à partir de x et θ :

$v_1^2={\dot{x}}^2$ et $v_2^2={\dot{\left(x+\ell \sin \theta \right)}}^2+{\dot{\left(\ell \cos \theta \right)}}^2$

ce qui s'écrit encore :

$v_2^2={\dot{x}}^2+2\dot{x}\ell \dot{\theta }\cos \theta +{\ell }^2{\dot{\theta }}^2$.

Le lagrangien est donné par :

et les équations du mouvement sont donc :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial L}{\partial x}=F$ ;

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0$.

En simplifiant ces équations, on obtient les équations, non-linéaires, du mouvement du pendule :

$\left(M+m\right)\ddot{x}+ml\ddot{\theta }\cos \theta -ml{\dot{\theta }}^2\sin \theta =F$ ;

$ml\ddot{\theta }+m\ddot{x}\cos \theta =mg\sin \theta$.