Polynôme de Tchebychev

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Introduction

Les polynômes de Tchebychev sont nommés d'après le mathématicien Pafnouti Tchebychev. Ils forment deux familles de polynômes, indexés par leur degré.

Le polynôme de Tchebychev de première espèce T_n est défini par la propriété suivante : pour tout nombre réel x,

T_{n} (cos (x)) = cos (n x) .

Le polynôme de Tchebychev de seconde espèce U_n est défini par :

U_{n} (cos (x)) = \frac{sin (( n + 1 ) x )}{sin x} .

Chacune de ces deux suites forme une famille de polynômes orthogonaux par rapport à une certaine fonction poids, et vérifie la relation de récurrence suivante :

f_{n + 2} (X) + f_{n} (X) = 2 X f_{n + 1} (X) .

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 1 espèce

Pour tout entier n strictement positif,

T_{n} (X) = \frac{n}{2} k = 0 \sum ⌊ \frac{n}{2} ⌋ (- 1)^{k} \frac{( n - k - 1 )!}{k ! ( n - 2 k )!} (2 X)^{n - 2 k} .

Les T_n sont orthogonaux pour le poids

\frac{1}{1 - x ^{2}}

sur l'intervalle ]−1,1[, et on sait calculer leur norme. Plus précisément,

\int_{- 1}^{1} T_{n} (x) T_{m} (x) \frac{d x}{1 - x ^{2}} = {0 si n \neq = m π si n = m = 0 π /2 si n = m \neq = 0 .

Pour tout entier naturel n,

T_{n} (1) = 1 .

Quels que soient les entiers naturels m et n,

T_{n} (T_{m} (X)) = T_{mn} (X) .

Pour tout entier n strictement positif, le coefficient dominant de T_n est 2 et ses n racines sont

a_{k}^{(n)} = cos (\frac{( 2 k - 1 ) π}{2 n}), k \in {1, ..., n} .

La parité dépend de n :

T_{n} (- X) = (- 1)^{n} T_{n} (X) .

Ils vérifient l'équation différentielle suivante :

(1 - X^{2}) T_{n}^{''} (X) - X T_{n}^{'} (X) + n^{2} T_{n} (X) = 0 .

Représentation intégrale :

T_{n} (x) = \frac{1}{4 iπ} \int_{C} \frac{1}{z ^{n}} \frac{1 - z ^{2}}{z ( 1 - 2 x z + z ^{2} )} d z

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif, les zéros de z − 2x**z + z étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante T0, et T1, T2, T3, T4 et T5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de première espèce sont :

T_{0} (x) = 1

T_{1} (x) = x

T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1

T_{3} (x) = 4 x^{3} - 3 x

T_{4} (x) = 8 x^{4} - 8 x^{2} + 1

T_{5} (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x

T_{6} (x) = 32 x^{6} - 48 x^{4} + 18 x^{2} - 1

T_{7} (x) = 64 x^{7} - 112 x^{5} + 56 x^{3} - 7 x

T_{8} (x) = 128 x^{8} - 256 x^{6} + 160 x^{4} - 32 x^{2} + 1

T_{9} (x) = 256 x^{9} - 576 x^{7} + 432 x^{5} - 120 x^{3} + 9 x .

Propriétés des polynômes de Tchebychev de 2 espèce

Pour tout entier n strictement positif,

U_{n} (X) = k = 0 \sum ⌊ \frac{n}{2} ⌋ (- 1)^{k} (k n - k) (2 X)^{n - 2 k} .

Les U_n sont orthogonaux pour le poids

1 - x^{2}

sur l'intervalle ]−1,1[. Plus précisément,

\int_{- 1}^{1} U_{n} (x) U_{m} (x) 1 - x^{2} d x = {0 si n \neq = m π /2 si n = m .

Pour tout entier naturel n,

U_{n} (1) = n + 1 .

Pour tout entier n strictement positif, les n racines de U_n sont

a_{k}^{(n)} = cos (\frac{k π}{n + 1}), k \in {1, ..., n} .

La parité dépend de n :

U_{n} (- X) = (- 1)^{n} U_{n} (X) .

Ils vérifient l'équation différentielle suivante :

(1 - X^{2}) U_{n}^{''} (X) - 3 X U_{n}^{'} (X) + n (n + 2) U_{n} (X) = 0 .

Représentation intégrale :

U_{n} (x) = \frac{1}{2 iπ} \int_{C} \frac{1}{z ^{n}} \frac{1}{z ( 1 - 2 x z + z ^{2} )} d z

avec C un contour dans plan complexe autour de zéro, dans le sens positif, les zéros de z − 2x**z + z étant en dehors de C.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sur le domaine −1¼ < x < 1¼, −1¼ < y < 1¼; la fonction constante U0, et U1, U2, U3, U4 et U5.

Les premiers polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont :

U_{0} (x) = 1

U_{1} (x) = 2 x

U_{2} (x) = 4 x^{2} - 1

U_{3} (x) = 8 x^{3} - 4 x

U_{4} (x) = 16 x^{4} - 12 x^{2} + 1

U_{5} (x) = 32 x^{5} - 32 x^{3} + 6 x

U_{6} (x) = 64 x^{6} - 80 x^{4} + 24 x^{2} - 1

U_{7} (x) = 128 x^{7} - 192 x^{5} + 80 x^{3} - 8 x

U_{8} (x) = 256 x^{8} - 448 x^{6} + 240 x^{4} - 40 x^{2} + 1

U_{9} (x) = 512 x^{9} - 1024 x^{7} + 672 x^{5} - 160 x^{3} + 10 x .

Quelques relations avec d'autres fonctions spéciales

T_{n} (X) = U_{n} (X) - X U_{n - 1} (X) .

T_{n} (X) = \frac{n}{2} C_{n}^{(0)} (X),

U_{n} (X) = C_{n}^{(1)} (X),

avec $C_{n}^{(k)}$ un polynôme de Gegenbauer et

T_{n} (X) = F (- n, n; \frac{1}{2}; \frac{1 - X}{2}),

U_{n} (X) = (n + 1) F (- n, n + 2; \frac{3}{2}; \frac{1 - X}{2}),

avec F la fonction hypergéométrique.

Intérêt

Tchebychev a découvert ceux-ci en travaillant sur le problème de convergence des interpolations de Lagrange. On peut démontrer que pour minimiser l'erreur engendrée par l'interpolation (cf phénomène de Runge), il faut choisir les racines des polynômes de Tchebychev comme points d'interpolation. Dans ce contexte, ces $a_{k}^{(n)}$ données ci-dessus, éventuellement ajustés à un autre intervalle d'interpolation [a,b] considéré (par une transformation affine $x \mapsto \frac{b - a}{2} x + \frac{b + a}{2}$ ), sont appelés les abscisses de Tchebychev.

Les polynômes de Tchebychev sont impliqués dans le calcul de filtres en électronique analogique, les filtres de Tchebychev.

Ils peuvent également servir à démontrer le théorème de Weierstrass (Toute fonction continue sur un intervalle est limite uniforme d'une suite de polynômes).

Bibliographie

Polynômes de Tchebychev sur Math-Linux.
(en) Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, chap. 22.