Polynômes orthogonaux

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Introduction

En mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de polynômes p₀(x), p₁(x), p₂(x) ... à coefficients réels, dans laquelle chaque p_n(x) est de degré n, et telle que les polynômes de la suite sont orthogonaux deux à deux pour un produit scalaire de fonctions donné.

Introduction

Le produit scalaire de fonctions le plus simple est l'intégrale du produit de ces fonctions, sur un intervalle borné :

⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x

Plus généralement, on peut introduire une "fonction poids" W(x) dans l'intégrale (sur l'intervalle d'intégration ]a,b[, W doit être à valeurs finies et strictement positives, et l'intégrale du produit de la fonction poids par un polynôme doit être finie ; les bornes a,b peuvent être infinies) :

⟨ f, g ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) g (x) W (x) d x

Avec cette définition du produit scalaire, deux fonctions sont orthogonales entre elles si leur produit scalaire est égal à zéro (de la même manière que deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si leur produit scalaire égale zéro). On introduit alors la norme associée : $∣∣ f ∣∣ = ⟨ f, f ⟩$ ; le produit scalaire fait de l'ensemble de toutes les fonctions de norme finie un espace de Hilbert.

L'intervalle d'intégration est appelé intervalle d'orthogonalité.

Le domaine des polynômes orthogonaux a été développé durant le XIX siècle par Stieltjes, comme outil de la théorie analytique des fractions continues. De multiples applications en ont découlé, en mathématiques et en physique.

Exemple : les polynômes de Legendre

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est ]-1, 1[ et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1 :

P_{0} (x) = 1

P_{1} (x) = x

P_{2} (x) = \frac{3 x ^{2} - 1}{2}

P_{3} (x) = \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2}

P_{4} (x) = \frac{35 x ^{4} - 30 x ^{2} + 3}{8}

\dots

Ils sont tous orthogonaux sur ]-1, 1[ :

\int_{- 1}^{1} P_{m} (x) P_{n} (x) d x = 0 pour m \neq = n

Propriétés

Toute suite de polynômes $p_{0}, p_{1} \dots$ , où chaque $p_{k}$ est de degré k, est une base de l'espace vectoriel $R [x]$ (de dimension infinie) de tous les polynômes, "adaptée au drapeau $(R n [x]) n \in N$ ". Une suite de polynômes orthogonaux est simplement une telle base qui est de plus orthogonale pour un certain produit scalaire. Ce produit scalaire étant fixé, une telle suite est presque unique (unique à produit près de ses vecteurs par des scalaires non nuls), et peut s'obtenir à partir de la base canonique $(1, x, x^{2}, \dots)$ (non orthogonale en général), par le procédé de Gram-Schmidt.

Quand on construit une base orthogonale, on peut être tenté de la rendre orthonormale, c'est-à-dire telle que $⟨ p_{n}, p_{n} ⟩ = 1$ pour tout n, en divisant chaque p_n par sa norme. Dans le cas des polynômes, on préfère ne pas imposer cette condition supplémentaire car il en résulterait souvent des coefficients contenant des racines carrées. On préfère souvent choisir un multiplicateur tel que les coefficients restent rationnels, et donnent des formules aussi simples que possible. On appelle cela standardisation. Les polynômes "classiques" énumérés ci-dessous ont été ainsi standardisés ; typiquement, le coefficient de leur terme de plus haut degré ou leur valeur en un point ont été mis à une quantité donnée (pour les polynômes de Legendre, P_n(1) = 1). Cette standardisation n'a pas de signification mathématique, c'est juste une convention, qui pourrait aussi parfois être obtenue par une mise à l'échelle de la fonction poids correspondante. Notons $h_{n} = ⟨ p_{n}, p_{n} ⟩$ (la norme de $p_{n}$ est la racine carrée de $h_{n}$ ). Les valeurs de $h_{n}$ pour les polynômes standardisés sont énumérées dans le tableau ci-dessous. Nous avons

$⟨ p_{m}, p_{n} ⟩ = δ_{mn} h_{n}$ ;

où δ_m**nh_n est le delta de Kronecker.

Toute suite (p_k) de polynômes orthogonaux possède un grand nombre de propriétés remarquables. Pour commencer :

Lemme 1 : $(p_{0}, \dots, p_{n})$ est une base de $R_{n} [x]$

Lemme 2 : p_n est orthogonal à $R_{n - 1} [x]$ .

Le lemme 1 est dû au fait que p_k est de degré k. Le lemme 2 vient de ce que, de plus, les p_k sont orthogonaux deux à deux.

Relation de récurrence

Pour toute suite de polynômes orthogonaux, il existe une relation de récurrence relativement à trois polynômes consécutifs.

p_{n + 1} = (a_{n} x + b_{n}) p_{n} - c_{n} p_{n - 1}

Les coefficients a_n,b_n,c_n sont donnés par

a_{n} = \frac{k _{n + 1}}{k _{n}}, b_{n} = a_{n} (\frac{k _{n + 1}^{'}}{k _{n + 1}} - \frac{k _{n}^{'}}{k _{n}}), c_{n} = a_{n} (\frac{k _{n - 1} h _{n}}{k _{n} h _{n - 1}}),

où k_j et k_j' désignent les deux premiers coefficients de p_j :

p_{j} (x) = k_{j} x^{j} + k_{j}^{'} x^{j - 1} + \dots

et h_j le produit scalaire de p_j par lui-même :

$h_{j} = ⟨ p_{j}, p_{j} ⟩$ .

(Par convention, $c_{0}, p_{- 1}, k_{0}^{'}$ sont nuls.)

Noyau de Christoffel-Darboux

Dans l'espace L2 associé à W, notons S_n la projection orthogonale sur $R_{n} [x]$ : pour toute fonction $f\$ telle que $\int_{a}^{b} f^{2} (x) W (x) d x < \infty$ ,

(S_{n} f) (x) = k = 0 \sum n \frac{⟨ f , p _{k} ⟩}{h _{k}} p_{k} (x) = \int_{a}^{b} K_{n} (x, y) f (y) d y,

où K_n est le noyau de Christoffel-Darboux, défini par :

K_{n} (x, y) = k = 0 \sum n \frac{p _{k} ( x ) p _{k} ( y )}{h _{k}} .

La relation de récurrence précédente permet alors de montrer :

K_{n} (x, y) = \frac{k _{n}}{k _{n + 1} h _{n}} \frac{p _{n + 1} ( x ) p _{n} ( y ) - p _{n} ( x ) p _{n + 1} ( y )}{x - y},

K_{n} (x, x) = \frac{k _{n}}{k _{n + 1} h _{n}} (p^{'} n + 1 (x) p_{n} (x) - p_{n} (x) p^{'} n + 1 (x)) .

Existence de racines réelles

Tout polynôme d'une suite de polynômes orthogonaux dont le degré n est supérieur ou égal à 1 admet n racines distinctes, toutes réelles, et situées strictement à l'intérieur de l'intervalle d'intégration (c'est une propriété remarquable : il est rare, pour un polynôme de degré élevé dont les coefficients ont été choisis au hasard, d'avoir toutes ses racines réelles)

Position des racines

Les racines des polynômes se trouvent strictement entre les racines du polynôme de degré supérieur dans la suite.

Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Une importante classe des polynômes orthogonaux provient d'une équation différentielle de Sturm-Liouville de la forme

Q (x) f^{''} + L (x) f^{'} + λ f = 0

où Q est un polynôme quadratique donné et L un polynôme linéaire donné. La fonction f est inconnue, et la constante λ est un paramètre. On peut remarquer qu'une solution polynomiale est a priori envisageable pour une telle équation, les degrés des termes étant compatibles. Cependant, les solutions de cette équation différentielle ont des singularités, à moins que λ ne prenne des valeurs spécifiques. La suite de ces valeurs $λ_{0}, λ_{1}, λ_{2} \dots$ conduit à une suite de polynômes solutions $P_{0}, P_{1}, P_{2} \dots$ si l'une des assertions suivantes est vérifiée :

Q est vraiment quadratique, L est linéaire, Q a deux racines réelles distinctes, la racine de L est située entre les deux racines de Q, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe.
Q n'est pas quadratique, mais linéaire, L est linéaire, les racines de Q et L sont différentes, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe si la racine de L est plus petite que celle de Q, ou inversement.
Q est un polynôme constant non nul, L est linéaire, et le terme de plus haut degré de L est de signe opposé à celui de Q.

Ces trois cas conduisent respectivement aux polynômes de Jacobi, de Laguerre et d'Hermite. Pour chacun de ces cas :

La solution est une suite de polynômes $P_{0}, P_{1}, P_{2} \dots$ , chaque $P_{n}$ ayant un degré n, et correspondant au nombre $λ_{n}$ .
L'intervalle d'orthogonalité est limité par les racines de Q.
La racine de L est à l'intérieur de l'intervalle d'orthogonalité.
En notant $R (x) = e^{\int_{x_{0}}^{x} \frac{L ( t )}{Q ( t )} d t}$ , les polynômes sont orthogonaux sous la fonction poids $W (x) = \frac{R ( x )}{Q ( x )}$
W(x) ne peut pas s'annuler ou prendre une valeur infinie dans l'intervalle, bien qu'il puisse le faire aux extrémités.
W(x) peut être choisi positif sur l'intervalle (multiplier l'équation différentielle par -1 si nécessaire)

En raison de la constante d'intégration, la quantité R(x) est définie à une constante multiplicative près. Le tableau ci-dessous donne les valeurs "officielles" de R(x) et W(x).

Formule de Rodrigues

Avec les hypothèses de la section précédente, P_n(x) est proportionnel à $\frac{1}{W ( x )} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (W (x) [Q (x)]^{n})$

équation mieux connue sous le nom de « formule de Rodrigues ». Elle est souvent écrite :

P_{n} (x) = \frac{1}{e _{n} W ( x )} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (W (x) [Q (x)]^{n})

où les nombres e_n dépendent de la normalisation. Les valeurs de e_n sont données dans le tableau plus bas.

Pour démontrer cette formule on vérifie, dans chacun des trois cas ci-dessus, que le P_n qu'elle fournit est bien un polynôme de degré n, puis, par intégrations par parties répétées, que pour tout polynôme P, $⟨ \frac{1}{W} (W Q^{n})^{(n)}, P ⟩$ est égal à $(- 1)^{n} ⟨ Q^{n}, P^{(n)} ⟩,$ donc est nul si P est de degré inférieur à n. Cette méthode montre en outre que $h_{n} e_{n} = (- 1)^{n} n! k_{n} \int_{a}^{b} (Q (x))^{n} W (x) d x$ .

Les nombres λ_n

Avec les hypothèses de la section précédente,

λ_{n} = n (\frac{1 - n}{2} Q^{''} - L^{'})

(on remarquera que Q étant quadratique et L linéaire, Q'' et L' sont bien des constantes.)

Seconde forme de l'équation différentielle

Avec $R (x) = exp (\int_{x_{0}}^{x} \frac{L ( t )}{Q ( t )} d t)$ .

Alors

(R y^{'})^{'} = R y^{''} + R^{'} y^{'} = R y^{''} + \frac{R L}{Q} y^{'}

En multipliant maintenant l'équation différentielle

Q y^{''} + L y^{'} + λ y = 0

par R/Q, on obtient

R y^{''} + \frac{R L}{Q} y^{'} + \frac{R λ}{Q} y = 0

ou encore

(R y^{'})^{'} + \frac{R λ}{Q} y = 0

C'est la forme normalisée de Sturm-Liouville de l'équation.

Troisième forme de l'équation différentielle

En posant $S (x) = R (x) = exp (\int_{x_{0}}^{x} \frac{L ( t )}{2 Q ( t )} d t)$ .

Alors :

S^{'} = \frac{S L}{2 Q} .

En multipliant maintenant l'équation différentielle

Q y^{''} + L y^{'} + λ y = 0

par S/Q, on obtient :

S y^{''} + \frac{S L}{Q} y^{'} + \frac{S λ}{Q} y = 0

ou encore

S y^{''} + 2 S^{'} y^{'} + \frac{S λ}{Q} y = 0

Mais $(S y)^{''} = S y^{''} + 2 S^{'} y^{'} + S^{''} y$ , donc

(S y)^{''} + (\frac{S λ}{Q} - S^{''}) y = 0,

ou, en posant u = Sy,

u^{''} + (\frac{λ}{Q} - \frac{S ^{''}}{S}) u = 0.

Tableau des polynômes orthogonaux classiques

Nom et symbole conventionnel	Tchebychev, $T_{n}$	Tchebychev (seconde sorte), $U_{n}$	Legendre, $P_{n}$	Hermite (forme physique), $H_{n}$
Limite d'orthogonalité	$- 1, 1$	$- 1, 1$	$- 1, 1$	$- \infty, \infty$
Poids, $W (x)$	$(1 - x^{2})^{- 1/2}$	$(1 - x^{2})^{1/2}$	$1$	$e^{- x^{2}}$
Normalisation	$T_{n} (1) = 1$	$U_{n} (1) = n + 1$	$P_{n} (1) = 1$	Coefficient dominant = $2^{n}$
Carré de la norme $h_{n}$	${π : n = 0 π /2 : n \neq = 0$	$π /2$	$\frac{2}{2 n + 1}$	$2^{n} n! π$
Coefficient dominant $k_{n}$	$2^{n - 1}$	$2^{n}$	$\frac{( 2 n )!}{2 ^{n} ( n ! ) ^{2}}$	$2^{n}$
Coefficient suivant $k_{n}^{'}$	$0$	$0$	$0$	$0$
Constante dans l'équation différentielle, $λ_{n}$	$n^{2}$	$n (n + 2)$	$n (n + 1)$	$2 n$
Constante dans la formule de Rodrigues, $e_{n}$	$(- 2)^{n} \frac{Γ ( n + 1/2 )}{π}$	$2 (- 2)^{n} \frac{Γ ( n + 3/2 )}{( n + 1 ) π}$	$(- 2)^{n} n!$	$(- 1)^{n}$
Relation de récurrence, $a_{n}$	$2$	$2$	$\frac{2 n + 1}{n + 1}$	$2$
Relation de récurrence, $b_{n}$	$0$	$0$	$0$	$0$
Relation de récurrence, $c_{n}$	$1$	$1$	$\frac{n}{n + 1}$	$2 n$

Nom et symbole	Laguerre associé, $L_{n}^{(α)}$	Laguerre, $L_{n}$
Limites d'orthogonalité	$0, \infty$	$0, \infty$
Poids, $W (x)$	$x^{α} e^{- x}$	$e^{- x}$
Normalisation	Coefficient dominant = $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$	Coefficient dominant = $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$
Carré de la norme $h_{n}$	$1$	$1$
Coefficient dominant $k_{n}$	$\frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$	$\frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$
Coefficient suivant $k_{n}^{'}$	$\frac{( - 1 ) ^{n + 1} ( n + α )}{( n - 1 )!}$	$\frac{( - 1 ) ^{n + 1} n}{( n - 1 )!}$
Constante dans l'équation différentielle, $λ_{n}$	$n$	$n$
Constante dans la relation de Rodrigues, $e_{n}$	$n!$	$n!$
Relation de récurrence, $a_{n}$	$\frac{- 1}{n + 1}$	$\frac{- 1}{n + 1}$
Relation de récurrence, $b_{n}$	$\frac{2 n + 1 + α}{n + 1}$	$\frac{2 n + 1}{n + 1}$
Relation de récurrence, $c_{n}$	$\frac{n + α}{n + 1}$	$\frac{n}{n + 1}$

Nom et symbole	Gegenbauer, $C_{n}^{(α)}$	Jacobi, $P_{n}^{(α, β)}$
Limites d'orthogonalité	$- 1, 1$	$- 1, 1$
Poids, $W (x)$	$(1 - x^{2})^{α - 1/2}$	$(1 - x)^{α} (1 + x)^{β}$
Normalisation	$C_{n}^{(α)} (1) = \frac{Γ ( n + 2 α )}{n ! Γ ( 2 α )}$ if $α \neq = 0$	$P_{n}^{(α, β)} (1) = \frac{Γ ( n + 1 + α )}{n ! Γ ( 1 + α )}$
Carré de la norme, $h_{n}$	$\frac{π 2 ^{1 - 2 α} Γ ( n + 2 α )}{n ! ( n + α ) ( Γ ( α ) ) ^{2}}$	$\frac{2 ^{α + β + 1} Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 )}{n ! ( 2 n + α + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 )}$
Coefficient dominant $k_{n}$	$\frac{Γ ( 2 n + 2 α ) Γ ( 1/2 + α )}{n ! 2 ^{n} Γ ( 2 α ) Γ ( n + 1/2 + α )}$	$\frac{Γ ( 2 n + 1 + α + β )}{n ! 2 ^{n} Γ ( n + 1 + α + β )}$
Coefficient suivant $k_{n}^{'}$	$0$	$\frac{( α - β ) Γ ( 2 n + α + β )}{( n - 1 )! 2 ^{n} Γ ( n + 1 + α + β )}$
Constante dans l'équation différentielle, $λ_{n}$	$n (n + 2 α)$	$n (n + 1 + α + β)$
Constante dans l'équation de Rodrigues, $e_{n}$	$\frac{( - 2 ) ^{n} n ! Γ ( 2 α ) Γ ( n + 1/2 + α )}{Γ ( n + 2 α ) Γ ( α + 1/2 )}$	$(- 2)^{n} n!$
Relation de récurrence, $a_{n}$	$\frac{2 ( n + α )}{n + 1}$	$\frac{( 2 n + 1 + α + β ) ( 2 n + 2 + α + β )}{2 ( n + 1 ) ( n + 1 + α + β )}$
Relation de récurrence, $b_{n}$	$0$	$\frac{( α ^{2} - β ^{2} ) ( 2 n + 1 + α + β )}{2 ( n + 1 ) ( 2 n + α + β ) ( n + 1 + α + β )}$
Relation de récurrence, $c_{n}$	$\frac{n + 2 α - 1}{n + 1}$	$\frac{( n + α ) ( n + β ) ( 2 n + 2 + α + β )}{( n + 1 ) ( n + 1 + α + β ) ( 2 n + α + β )}$

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Exemple : les polynômes de Legendre

Propriétés

Relation de récurrence

Noyau de Christoffel-Darboux

Existence de racines réelles

Position des racines

Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Formule de Rodrigues

Les nombres λn

Seconde forme de l'équation différentielle

Troisième forme de l'équation différentielle

Tableau des polynômes orthogonaux classiques

Les nombres λ_n