Propriétés métriques des droites et plans

Restez toujours informé : suivez-nous sur Google (☆)

Introduction

En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u , v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0)

La droite dans le plan euclidien

Vecteur normal à une droite

Soit M(x,y) un point de la droite D dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

(1) ux + v y + h = 0

et M₀(x₀,y₀) un point spécifique de D, On a :

(2) u x_{0} + v y_{0} + h = 0

En retranchant (2) à (1) on obtient :

u (x - x_{0}) + v (y - y_{0}) = 0

En notant $N$ , le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

N . M_{0} M = 0

La droite d'équation u**x + v**y + h = 0 est donc orthogonale au vecteur $N$ . Le vecteur $N$ est appelé un vecteur normal à la droite D

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

Soit un point M(x,y) et un vecteur $N (u, v)$ non nul. Le point M appartient à la droite D, passant par M₀(x₀,y₀) et orthogonale à $N$ , si et seulement si :

N . M_{0} M = 0

La droite D, passant par M₀(x₀,y₀) et orthogonale à $N$ , a donc pour équation : :

u (x - x_{0}) + v (y - y_{0}) = 0

Distance algébrique d'un point M(x,y) à une droite d'équation *u**x* + *v**y* + h = 0

Soit H la projecté de M(x,y) sur D avec $H M$ orthogonal à D.

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $N (u, v)$ , on montre que la distance algébrique entre M et D est donnée par :

d_a(H,M) = \frac{ux+vy+h}\sqrt{u^2 + v^2}

En valeur absolue:

|\overrightarrow{HM}| = \frac{|ux+vy+h|}\sqrt{u^2 + v^2}

Droite et pente

Pour v non nul, la droite D d'équation u**x + v**y + h = 0 possède une équation sous la forme m**x + b = y avec

m = - \frac{u}{v}

b = - \frac{h}{v}

La pente d'une droite est le réel

m = tan (α)

L'angle α représente l'angle entre l'axe des abscisses et la droite D.

Équation normale d'une droite

Dans le repère $(O, i, j)$ ,notons $N (cos φ, s in φ)$ un vecteur unitaire normal à la droite D, orienté de O vers D, la valeur $φ$ représente alors l'angle $(i, N)$ . On note d'autre part p la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

x cos φ + y sin φ - p = 0

Angles de deux droites

Soit D et D' deux droites d'équations

(D) : ux + v y + h = 0

(D^{'}) : u^{'} x + v^{'} y + h^{'} = 0

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente:

tan (D, D^{'}) = tan (N, N^{'}) = \frac{u v ^{'} - u ^{'} v}{u u ^{'} + v v ^{'}}

La droite dans l'espace euclidien

Distance d'un point M à une droite quelconque D de l'espace

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans

P_{1} = u_{1} x + v_{1} y + w_{1} z + h_{1} = 0

P_{2} = u_{2} x + v_{2} y + w_{2} z + h_{2} = 0

le plan $Q$ perpendiculaire à $P_{1}$ appartient au faisceau de plans $P_{1} + λ P_{2} = 0$

$Q$ sera perpendiculaire à $P_{1}$ pour $λ = \frac{- ( u _{1}^{2} + v _{1}^{2} + w _{1}^{2} )}{u _{1} u _{2} + v _{1} v _{2} + w _{1} w _{2}}$

Soit $H_{1}, H_{Q}, H$ les projections orthogonales du point $M$ respectivement sur $P_{1}, Q, D$ , on en déduit $M H^{2} = M H_{1}^{2} + M H_{Q}^{2}$

On calculera $M H_{1}$ et $M H_{Q}$ comme détaillé au chapitre "Distance algébrique d'un point à un plan" ci dessous.

Cas où la droite est définie par un point M₀ et un vecteur
$V$
non nul

La distance M**H est donnée par

M H = \frac{∣ M M _{0} \land V ∣}{∣ V ∣}

Droites orthogonales à un plan

Le plan étant défini par l'équation u**x + v**y + w**z + h = 0, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur $N (u, v, w)$ . Une droite D passant par le point M₀(x₀,y₀,z₀) et perpendiculaire à [P]:u**x + v**y + w**z + h = 0 a pour équations :

\frac{x - x _{0}}{u} = \frac{y - y _{0}}{v} = \frac{z - z _{0}}{w}

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des des réels est nul , par exemple u= 0, le système devient :

x = x_{0} \frac{y - y _{0}}{v} = \frac{z - z _{0}}{w}

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

x = x_{0} y = y_{0}

Distance entre deux droites quelconque de l'espace

Soient la droite (D₀) passant par M₀(x₀,y₀,z₀) et de direction le vecteur $V_{0} (a_{0}, b_{0}, c_{0})$ et (D₁) la droite passant par M₁(x₁,y₁,z₁) et de direction $V_{1} (a_{1}, b_{1}, c_{1})$

Si les vecteurs $V_{0}$ et $V_{1}$ sont indépendants, le volume du solide construit sur $M_{0} M_{1}, V_{0}, V_{1}$ est égal à | k | . Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

k = (M_{0} M_{1}, V_{0}, V_{1})

L'aire de la base du solide est donnée par

$∣ W ∣$ tel que $W = V_{0} \land V_{1}$

La distance entre les deux droites est alors égale à

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M₁ de la droite D₀

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur orthogonal à un plan

Soit M(x,y,z) un point du plan P dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

(1 bi s) ux + v y + w z + h = 0

Pour M₀(x₀,y₀,z₀) un point spécifique de P on obtient :

(2 bi s) u x_{0} + v y_{0} + w z_{0} + h = 0

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

u (x - x_{0}) + v (y - y_{0}) + w (z - z_{0}) = 0

En notant $N$ , le vecteur de coordonnées (u,, v , w), on exprime (1bis) comme suit :

N . M_{0} M = 0

Le plan P d'équation u**x + v**y + w**z + h = 0 est donc orthogonal au vecteur $N (u, v, w)$ et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

Soit un point $M (x, y, z)$ et un vecteur $N (u, v, w)$ non nul. Le point M appartient au plan P, passant par $M_{0} (x_{0}, y_{0}, y_{0})$ et orthogonal à $N$ , si et seulement si :

N . M_{0} M = 0

Le plan P, passant par M₀(x₀,y₀,z₀) et orthogonal à $N$ , a donc pour équation : :

u (x - x_{0}) + v (y - y_{0}) + w (z - z_{0}) = 0

Distance algébrique d'un point M(x,y,z) à un plan P d'équation *u**x* + *v**y* + *w**z* + h = 0

Soit H la projeté de M(x,y,z) sur P avec $H M$ orthogonal à P.

La droite perpendiculaire à P et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur $N (u, v, w)$ , on montre que la distance algébrique entre M et P est donnée par :

d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}

En valeur absolue:

|\overrightarrow{HM}| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}

Angles de deux plans

Soitent (P) et (P') deux plans d'équations

(P) : ux + v y + w z + h = 0

(P^{'}) : u^{'} x + v^{'} y + w^{'} z + h^{'} = 0

L'angle géométrique (P,P') est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux $(N, N^{'})$

cos (P, P^{'}) = ∣ cos (N, N^{'}) ∣ = \frac{∣ u u ^{'} + v v ^{'} + w w ^{'} ∣}{u ^{2} + v ^{2} + w ^{2} \times u ^{'2} + v ^{'2} + w ^{'2}}

Plans perpendiculaires

Les plan (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux $N$ et $N^{'}$ sont orthogonaux. Ce qui implique

u u^{'} + v v^{'} + w w^{'} = 0

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Soient un point M₀(x₀,y₀,z₀) et deux vecteurs $V_{1}$ et $V_{2}$ non colinéaires. Un point M (x, y, z) appartient au plan P passant par M₀(x₀,y₀,z₀) et de directions $V_{1}$ et $V_{2}$ si et seulement si il existe deux réels λ et μ tels que $M M_{0} = λ V_{1} + μ V_{2}$ . Cette égalité exprime que $M M_{0}, V_{1}, V_{2}$ sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

det (M M_{0}, V_{1} (a_{1}, b_{1}, c_{1}), V_{2} (a_{2}, b_{2}, c_{2})) = 0

Son équation est :

x - x_{0} a_{1} a_{2} y - y_{0} b_{1} b_{2} z - z_{0} c_{1} c_{2} = (b_{1} c_{2} - c_{1} b_{2}) (x - x_{0}) + (c_{1} a_{2} - a_{1} c_{2}) (y - y_{0}) + (a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2}) (z - z_{0}) = 0

que l'on peut écrire sous la forme u**x + v**y + w**z + h = 0

Plan défini par deux points et un vecteur

Soient deux points M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂) et un vecteur $V_{1} (a, b, c)$ non colinéaire à $M_{1} M_{2}$ .

Le point M appartient au plan passant par M₁(x₁,y₁,z₁),M₂(x₂,y₂,z₂) et de direction $V_{1} (a, b, c)$ si et seulement si les trois vecteurs : $M_{1} M, M_{2} M_{1}, V$ sont coplanaires, donc :

det (M_{1} M, M_{2} M_{1}, V) = 0