Quaternions d'Hurwitz

Quaternions

Soit $\mathbb{A}$ un anneau. On definit l'algèbre des quaternions $\mathbb{H}(\mathbb{A})$ comme le $\mathbb{A}$-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

• 1 élement neutre pour la multiplication
• $i^2=j^2=k^2=-1$
• et les identités:
• $i=j\cdot k=-k\cdot j$
• $j=k\cdot i=-i\cdot k$
• $k=i\cdot j=-j\cdot i$

Quaternions d'Hurwitz

Soit $\mathbb{H}(\mathbb{Z})$, l'algèbre des quaternions sur l'anneau $\mathbb{Z}$. On définit les Quaternions d'Hurwitz comme suit:

On peut aussi definir les Quaternions d'Hurwitz comme:

les Quaternions d'Hurwitz sont un sous-anneau de $\mathbb{H}(\mathbb{R})$, dont les éléments: $a+b.i+c.j+d.k$ sont tels que 2a, 2b, 2c et 2d sont entiers ($(2a,2b,2c,2d)\in {\mathbb{Z}}^4$).

Les Quaternions d'Hurwitz forment un anneau euclidien à gauche et à droite.

Un anneau $\mathbb{A}$ est dit euclidien si

• $\mathbb{A}$ est intègre
• $\mathbb{A}$ est muni d'une division euclidienne i.e. il existe une application v telle que: