Représentation des algèbres de Clifford

Restez toujours informé : suivez-nous sur Google (☆)

Introduction

En mathématiques, les représentations des algèbres de Clifford sont aussi connues sous le nom modules de Clifford. En général, une algèbre de Clifford C est une algèbre centrale simple sur une certaine extension de corps L d'un corps K sur lequel la forme quadratique Q définissant C est définie.

La théorie algébrique des modules de Clifford a été mise au point par M. F. Atiyah, R. Bott et A. Shapiro dans l'article Clifford Modules (Topology 3 (Suppl. 1) (1964), 3–38).

Représentations matricielles des algèbres de Clifford réelles

Nous aurons besoin d'étudier les matrices anticommutatives (AB = -BA) les vecteurs orthogonaux anticommutent dans les algèbres de Clifford.

A \cdot B = \frac{1}{2} (A B + B A) = 0

Pour l'algèbre de Clifford réelle $R_{p, q}$ , nous avons besoin de p + q matrices mutuellement anticommutatives, dont p ont pour carré +1 et q ont pour carré - 1.

γ_{a}^{2} = + 1 si 1 \leq a \leq p γ_{a}^{2} = - 1 si p + 1 \leq a \leq p + q γ_{a} γ_{b} = - γ_{b} γ_{a} si a \neq = b

Une telle base de matrices gamma n'est pas unique. On peut toujours obtenir un autre ensemble de matrices gamma satisfaisant la même algèbre de Clifford par une transformation de similarité.

γ_{a^{'}} = S γ_{a} S^{- 1}

où S est une matrice non-singulière. Les ensembles $γ_{a^{'}}$ et $γ_{a}$ appartiennent à la même classe d'équivalence.

Intermezzo : le système K pour nommer les matrices

Nous présentons d'abord une méthode élégante pour nommer les matrices $2^{n} \times 2^{n}$

K_0 = \begin{pmatrix} 1&0\0&1 \end{pmatrix}, K_1 = \begin{pmatrix} 0&1\1&0 \end{pmatrix}, K_2 = \begin{pmatrix} 0&-1\1&0 \end{pmatrix}, K_3 = \begin{pmatrix} 1&0\0&-1 \end{pmatrix}.

À noter que K₀ est la matrice identité. Les noms ont été choisis de manière qu'il existe une règle simple pour se souvenir des produits :

K_{1} K_{2} = K_{3}

K_{1} K_{3} = K_{2}

K_{2} K_{3} = K_{1}

K_{2} K_{1} = - K_{3}

K_{3} K_{1} = - K_{2}

$K_{3} K_{2} = - K_{1}$ .

Incrémenter l'index donne un résultat positif. Décrémenter l'index donne un résultat négatif.

Attention ! Il n'existe PAS les mêmes relations valides pour la base standard des quaternions. Si vous vouliez nommer $i = i_{1}, j = i_{2}, k = i_{3}$ vous obtiendriez

i_{1} i_{2} = i_{3}

i_{2} i_{3} = i_{1}

i_{3} i_{1} = i_{2}

donc, la dernière règle est différente. Nous verrons plus tard que les quaternions purs i,j et k peuvent être représentés par K₁₂,K₂₀ et K₃₂

Remarquez que

K_{0}^{2} = K_{1}^{2} = K_{3}^{2} = K_{0}

K_{2}^{2} = - K_{0}

K₂ est la seule avec un carré négatif, donc elle peut être regardée comme la représentation la plus simple de i

Nous donnons un nom à tous les produits de Kronecker possibles (voir produit matriciel) :

K_{ab} = K_{a} \otimes K_{b}

K_{ab c} = K_{a} \otimes K_{b c} = K_{a} \otimes K_{b} \otimes K_{c}

Quelques exemples

K_{30} = (1000010000 - 1 0000 - 1), K_{11} = (0001001001001000)

Chaque index possède son niveau ( 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, ...)

K₁₃ est une K₃ de niveau 2x2 et une K₁ de niveau 4x4. Avec cette notation, il est très simple de multiplier de grandes matrices puisque

(A \otimes B) (C \otimes D) = A C \otimes B D

Regardons un exemple

K₁₂₃ K₂₂₂ = K₃₀₁

niveau 8x8 1 fois 2 donne 3

niveau 4x4 2 fois 2 donne 0 mais souvenez-vous du signe moins

niveau 2x2 3 fois 2 donne 1 mais souvenez-vous du signe moins

(les deux signes moins s'annule donc le résultat est K₃₀₁ )

Nous pouvons maintenant démarrer la construction d'ensembles de matrices orthogonales mutuellement anticommutatives (voir matrice orthogonale), quelquefois appelées matrices de Dirac. Il est évident que deux de telles matrices anticommutent si elles anticommutent dans un nombre impair d'index (l'index o commute avec tous les autres indices).

K₁₃ par exemple anticommute avec

K₀₁,K₀₂,K₁₁,K₁₂,K₂₀,K₂₃,K₃₀,K₃₃

et commute avec

K₀₀,K₁₀,K₁₃,K₂₁,K₂₂,K₃₁,K₃₂.

Si l'index 2 apparaît un nombre pair de fois dans le nom alors le carré de la matrice est plus la matrice identité, appelons-la une Kplus

en voici des exemples : K₁, K₂₂, K₃₁₁, K₂₂₂₂

Si l'index 2 apparaît un nombre impair de fois dans le nom alors le carré de la matrice est moins la matrice identité, appelons-la une Kmoins

en voici des exemples : K₂, K₂₂₂, K₂₁₁, K₁₂₂₂

Nous avons maintenant une manière très simple de construction d'ensembles très larges de matrices anticommutatives.

Démarrons avec un ensemble existant ${K_{1}, K_{2}, K_{3}}$

Insérons un nouvel index constant (par exemple un 1 dans la premère position) et vous obtenez ${K_{11}, K_{12}, K_{13}}$

Puis ajoutons deux matrices supplémentaires qui anticommutent dans le nouveau niveau et commutons dans l'ancien niveau (au moyen du zéro à l'index 0)

Donc, nous obtenons ${K_{11}, K_{12}, K_{13}, K_{20}, K_{30}}$

Autres exemples

{K₂₁, K₂₂, K₂₃, K₁₀, K₃₀}

{K₃₁, K₃₂, K₃₃, K₁₀, K₂₀}

{K₁₁₁, K₁₁₂, K₁₁₃, K₁₂₀, K₁₃₀, K₂₀₀, K₃₀₀}

{K₂₁₁, K₂₁₂, K₂₁₃, K₂₂₀, K₂₃₀, K₁₀₀, K₃₀₀}

{K₃₁₁, K₃₁₂, K₃₁₃, K₃₂₀, K₃₃₀, K₁₀₀, K₂₀₀}

Nous obtenons toujours un ensemble avec un nombre impair de matrices et il existe toujours une Kplus de plus qu'une Kmoins.

Chacune d'elles peut être écrite comme le produit de toutes les autres. Exemple : $K_{11} K_{12} K_{13} K_{20} = K_{30}$

L'algèbre de Clifford réelle R2,0

p = 2 et q = 0, donc nous avons besoin de 2 Kplus comme base de vecteurs

catégorie 0 (le scalaire)

1 = K_{0}

catégorie 1 (les vecteurs)

γ_{1} = K_{1} \Rightarrow γ_{1}^{2} = K_{0} = 1

γ_{2} = K_{3} \Rightarrow γ_{2}^{2} = K_{0} = 1

catégorie 2 (le pseudoscalaire)

γ_{1} \land γ_{2} = \frac{1}{2} (γ_{1} γ_{2} - γ_{2} γ_{1}) = γ_{1} γ_{2} = K_{2} \Rightarrow (γ_{1} \land γ_{2})^{2} = (γ_{1} γ_{2})^{2} = K_{2}^{2} = - 1

n = p + q = 2 et nous avons 2 = 4 éléments donc, c'est ce que I. Porteous appelle une algèbre de Clifford universelle.

L'algèbre de Clifford réelle R1,1

p = 1 et q = 1 donc nous avons besoin d'une Kplus et d'une Kmoins comme base de vecteurs

Catégorie 0 (le scalaire)

1 = K_{0}

catégorie 1 (les vecteurs)

γ_{1} = K_{1} \Rightarrow γ_{1}^{2} = K_{0} = 1

γ_{2} = K_{2} \Rightarrow γ_{2}^{2} = - K_{0} = - 1

catégorie 2 (le pseudoscalaire)

γ_{1} \land γ_{2} = γ_{1} γ_{2} = K_{3} \Rightarrow (γ_{1} \land γ_{2})^{2} = (γ_{1} γ_{2})^{2} = K_{3}^{2} = K_{0} = 1

Ici encore, nous avons 2 éléments dans l'algèbre avec n = p+q donc elle est encore une algèbre de Clifford universelle.

L'algèbre de Clifford R2,1

p = 2 et q = 1 donc 2 Kplus et 1 Kmoins pour base de vecteurs

catégorie 0 (le scalaire)

1 = K_{0}

catégorie 1 (les vecteurs)

γ_{1} = K_{1} \Rightarrow γ_{1}^{2} = K_{0} = 1

γ_{2} = K_{3} \Rightarrow γ_{2}^{2} = K_{0} = 1

γ_{3} = K_{2} \Rightarrow γ_{3}^{2} = - K_{0} = - 1

La signature est ( + + - )

catégorie 2 (les bivecteurs)

γ_{1} \land γ_{2} = γ_{3} = K_{2} \Rightarrow (γ_{1} \land γ_{2})^{2} = - 1

γ_{1} \land γ_{3} = γ_{2} = K_{3} \Rightarrow (γ_{1} \land γ_{3})^{2} = + 1

γ_{2} \land γ_{3} = - γ_{1} = - K_{1} \Rightarrow (γ_{2} \land γ_{3})^{2} = + 1

catégorie 3 (le pseudoscalaire)

γ_{1} \land γ_{2} \land γ_{3} = - 1 \Rightarrow (γ_{1} \land γ_{2} \land γ_{3})^{2} = (- 1)^{2} = + 1

Ceci est le premier exemple d'une algèbre de Clifford non-universelle puisque p+q = 3 et nous avons seulement 2 éléments et non 2. La raison est très simple, chaque matrice est utilisée deux fois, une fois comme vecteur et une fois comme bivecteur. Et le pseudoscalaire est réel, comme le scalaire.

(Le dual de Hodge de chaque élément est simplement le négatif de l'original)

* A = - A

L'algèbre de Clifford R0,2

Ici p = 0 et q = 2 donc nous avons besoin de matrices Kmoins anticommutatives pour base de vecteurs. Ceci n'est pas possible avec des matrices réelles 2 x 2 donc nous avons besoin d'utiliser des matrices 4 x 4, et il existe beaucoup de possibilités. Cette algèbre est isomorphe avec l'anneau $H$ des quaternions.

catégorie 0 (le scalaire)

1 = K_{00}

catégorie 1 (les vecteurs)

γ_{1} = K_{12} \Rightarrow γ_{1}^{2} = - K_{00} = - 1

γ_{2} = K_{20} \Rightarrow γ_{2}^{2} = - K_{00} = - 1

La signature est (- -)

catégorie 2 (le pseudoscalaire)

γ_{1} \land γ_{2} = K_{12} K_{20} = K_{32} \Rightarrow (γ_{1} \land γ_{2})^{2} = K_{32}^{2} = - K_{00} = - 1

L'isomorphisme avec les quaternions est comme suit :

1 est scalaire, i et j sont les vecteurs et k = ij est le pseudoscalaire.

Un nombre de Clifford est une combinaison linéaire de quatre éléments 1, i, j et k

1 = K_{00}, i = K_{12}, j = K_{20} k = K_{32}

L'utilisation de k comme pseudoscalaire ( i x j ) est un peu étrange mais sonne parfaitement.

L'algèbre de Clifford R0,3

p = 0 et q = 3 donc nous avons besoin de 3 matrices Kmoins comme base de vecteurs, ceci est la manière usuelle de travail avec les quaternions i, j et k sont maintenant des base de vecteurs et ijk = -1 est le pseudoscalaire. Cette algèbre est de nouveau isomorphe avec $H$ (les quaternions)

catégorie 0 (le scalaire)

1 = K_{0}

catégorie 1 (les vecteurs)

γ_{1} = K_{12} = i \Rightarrow γ_{1}^{2} = - K_{00} = - 1

γ_{2} = K_{20} = j \Rightarrow γ_{2}^{2} = - K_{00} = - 1

γ_{3} = K_{32} = k \Rightarrow γ_{3}^{2} = - K_{00} = - 1

La signature est ( - - - )

catégorie 2 (les bivecteurs)

γ_{1} \land γ_{2} = K_{12} K_{20} = K_{32} = γ_{3}

γ_{3} \land γ_{1} = K_{32} K_{12} = K_{20} = γ_{2}

γ_{2} \land γ_{3} = K_{20} K_{32} = K_{12} = γ_{1}

catégorie 3 (le pseudoscalaire)

\gamma_1 \land \gamma_2 \and \gamma_3 = K_{12} K_{20} K_{32} = -K_{00} = -1

Un nombre de Clifford est ici, de nouveau, une combinaison linéaire de 4 éléments 1 i j et k. L'usage de -1 comme pseudoscalaire (ijk) est comme nous l'avons employé, mais il fait de cette algèbre un nouvel exemple d'algèbre de Clifford non-universelle, puisque p + q = 3 et nous avons seulement 2 éléments.

L'algèbre de Clifford R3,0

Ceci est la célèbre algèbre de Pauli, si vous pensez à K₀₂ pour i et K₀₀ pour 1. Nous avons trois Kplus pour base de vecteurs.

catégorie 0 (le scalaire)

1 = K_{0}

catégorie 1 (les vecteurs)

γ_{1} = K_{10} = σ_{1} \Rightarrow γ_{1}^{2} = K_{00} = + 1

γ_{2} = K_{22} = σ_{2} \Rightarrow γ_{2}^{2} = K_{00} = + 1

γ_{3} = K_{30} = σ_{3} \Rightarrow γ_{3}^{2} = K_{00} = + 1

La signature est ( + + + )

catégorie 2 (les bivecteurs)

σ_{1} \land σ_{2} = K_{10} K_{22} = K_{32} = K_{02} K_{30} = i σ_{3}

σ_{3} \land σ_{1} = K_{30} K_{10} = - K_{20} = K_{02} K_{22} = i σ_{2}

σ_{2} \land σ_{3} = K_{22} K_{30} = K_{12} = K_{02} K_{10} = i σ_{1}

catégorie 3 (le pseudoscalaire)

\sigma_1 \land \sigma_2 \and \sigma_3 = K_{10} K_{22} K_{30} = K_{02} = i

Donc i est le pseudoscalaire et les équations pour les bivecteurs signifient en fait que chaque bivecteur est le dual de Hodge de l'un des vecteurs qui n'est pas une partie du bivecteur.

L'algèbre de Clifford réelle R3,1

Ceci est pour moi l'algèbre de Clifford la plus intéressante parce qu'elle permet la construction des équations ressemblant aux équations de Dirac sans nombres complexes. Majorana l'a découverte. Par conséquent, les spineurs réels sont appelés les spineurs de Majorana. L'algèbre est aussi connue sous le nom d'algèbre de Majorana. Elle se sert de toutes les 16 matrices réelles 4 x 4. Les quatre bases de vecteurs sont en fait les trois matrices de Pauli (Kplus) completées d'une quatrième matrice antihermitienne (Kmin). La signature est ( + + + - ). Voir la convention de signe. Pour la signature ( + - - - ) ou ( - - - + ) souvent utilisée en physique, vous avez besoin de matrices complexes 4 x 4 ou matrices réelles 8 x 8 parce que vous ne pouvez pas former 3 matrices anticommutatives Kmoins 4 x 4. Voir R_1,3 pour différentes représentations.

catégorie 0 (le scalaire)

1 = K_{0}

catégorie 1 (les vecteurs)

γ_{1} = K_{10} \Rightarrow γ_{1}^{2} = K_{00} = + 1

γ_{2} = K_{22} \Rightarrow γ_{2}^{2} = K_{00} = + 1

γ_{3} = K_{30} \Rightarrow γ_{3}^{2} = K_{00} = + 1

γ_{4} = K_{23} \Rightarrow γ_{4}^{2} = - K_{00} = - 1

La signature est ( + + + - )

catégorie 2 (les bivecteurs, trois rotations et trois accélérateurs)

γ_{1} γ_{2} = K_{10} K_{22} = K_{32} \Rightarrow (γ_{1} γ_{2})^{2} = - K_{00} = - 1

γ_{1} γ_{3} = K_{10} K_{30} = K_{20} \Rightarrow (γ_{1} γ_{3})^{2} = - K_{00} = - 1

γ_{2} γ_{3} = K_{22} K_{30} = K_{12} \Rightarrow (γ_{2} γ_{3})^{2} = - K_{00} = - 1

γ_{1} γ_{4} = K_{10} K_{23} = K_{33} \Rightarrow (γ_{1} γ_{4})^{2} = K_{00} = + 1

γ_{2} γ_{4} = K_{22} K_{23} = - K_{01} \Rightarrow (γ_{1} γ_{2})^{2} = K_{00} = + 1

γ_{3} γ_{4} = K_{30} K_{23} = - K_{13} \Rightarrow (γ_{1} γ_{2})^{2} = K_{00} = + 1

catégorie 3 (les pseudovecteurs, les duaux de Hodge des vecteurs)

γ_{2} γ_{3} γ_{4} = K_{22} K_{30} K_{23} = K_{31} \Rightarrow (γ_{2} γ_{3} γ_{4})^{2} = K_{00} = + 1

γ_{1} γ_{3} γ_{4} = K_{10} K_{30} K_{23} = - K_{03} \Rightarrow (γ_{1} γ_{3} γ_{4})^{2} = K_{00} = + 1

γ_{1} γ_{2} γ_{4} = K_{10} K_{22} K_{23} = - K_{11} \Rightarrow (γ_{1} γ_{2} γ_{4})^{2} = K_{00} = + 1

γ_{1} γ_{2} γ_{3} = K_{10} K_{22} K_{30} = K_{02} = i \Rightarrow (γ_{1} γ_{2} γ_{3})^{2} = - K_{00} = - 1

la dernière est le pseudoscalaire dans R_3,0

catégorie 4 (le pseudoscalaire)

γ_{1} γ_{2} γ_{3} γ_{4} = K_{10} K_{22} K_{30} K_{23} = K_{21} \Rightarrow (γ_{1} γ_{2} γ_{3} γ_{4})^{2} = - K_{00} = - 1

Autres représentations avec les matrices réelles 4x4

R_{2, 2} K_{10} K_{22} K_{21} K_{23}

R_{3, 2} K_{10} K_{22} K_{30} K_{21} K_{23}

Représentations avec les matrices réelles 8x8

R_{4, 0} K_{110} K_{122} K_{130} K_{300}

R_{4, 1} K_{110} K_{122} K_{130} K_{300} K_{200}

R_{4, 2} K_{110} K_{122} K_{130} K_{300} K_{200} K_{121}

R_{4, 3} K_{110} K_{122} K_{130} K_{300} K_{200} K_{121} K_{123}

R_{3, 3} K_{110} K_{122} K_{130} K_{200} K_{121} K_{123}

R_{2, 3} K_{110} K_{122} K_{200} K_{121} K_{123}

R_{1, 3} K_{110} K_{200} K_{121} K_{123}

Cette dernière est très importante en physique puisqu'elle est l'algèbre de Clifford la plus utilisée pour le travail dans l'espace-temps de Minkowski. La signature est ( + - - - ). Voir convention de signe. Les représentations les plus utilisées sont

R_{1, 3} K_{100} K_{210} K_{222} K_{230}

En s'intéressant aux matrices réelles 8 x 8, on peut former 7 matrices Kmoins anticommutatives. Ils forment un ensemble de bases pour l'algèbre de Clifford réelle non-universelle R_0,7

R_{0, 7} K_{302} K_{102} K_{230} K_{210} K_{023} K_{021} K_{222}

R_{0, 6} K_{302} K_{102} K_{230} K_{210} K_{023} K_{021}

R_{0, 5} K_{302} K_{102} K_{230} K_{210} K_{023}

R_{0, 4} K_{302} K_{102} K_{230} K_{210}

(Pour R_0,3, nous avons montré qu'une seule a besoin de matrices réelles 4x4)

Représentations avec les matrices réelles 16x16

R_{5, 0} K_{1110} K_{1122} K_{1130} K_{1300} K_{3000}

R_{5, 1} K_{1110} K_{1122} K_{1130} K_{1300} K_{3000} K_{1121}

R_{5, 2} K_{1110} K_{1122} K_{1130} K_{1300} K_{3000} K_{1121} K_{1123}

R_{5, 3} K_{1110} K_{1122} K_{1130} K_{1300} K_{3000} K_{1121} K_{1123} K_{1200}

R_{5, 4} K_{1110} K_{1122} K_{1130} K_{1300} K_{3000} K_{1121} K_{1123} K_{1200} K_{2000}

R_{4, 4} K_{1110} K_{1122} K_{1130} K_{1300} K_{1121} K_{1123} K_{1200} K_{2000}

R_{3, 4} K_{1110} K_{1122} K_{1130} K_{1121} K_{1123} K_{1200} K_{2000}

R_{2, 4} K_{1110} K_{1122} K_{1121} K_{1123} K_{1200} K_{2000}

R_{1, 4} K_{1110} K_{1121} K_{1123} K_{1200} K_{2000}

R_{0, 4} K_{1121} K_{1123} K_{1200} K_{2000}

R_{1, 8} K_{1302} K_{1102} K_{1230} K_{1210} K_{1023} K_{1021} K_{1222} K_{2000} K_{3000}

R_{1, 7} K_{1302} K_{1102} K_{1230} K_{1210} K_{1023} K_{1021} K_{1222} K_{3000}

R_{1, 6} K_{1302} K_{1102} K_{1230} K_{1210} K_{1023} K_{1021} K_{3000}

R_{1, 5} K_{1302} K_{1102} K_{1230} K_{1210} K_{1023} K_{3000}

R_{1, 4} K_{1302} K_{1102} K_{1230} K_{1210} K_{3000}

R_1,3 a besoin seulement de matrices réelle 4x4

R_{0, 8} K_{1302} K_{1102} K_{1230} K_{1210} K_{1023} K_{1021} K_{1222} K_{2000}

R_0,7 a besoin seulement de matrices réelles 8x8

R_{9, 0} K_{2302} K_{2102} K_{2230} K_{2210} K_{2023} K_{2021} K_{2222} K_{1000} K_{3000}

R_{8, 0} K_{2302} K_{2102} K_{2230} K_{2210} K_{2023} K_{2021} K_{2222} K_{1000}

R_{7, 0} K_{2302} K_{2102} K_{2230} K_{2210} K_{2023} K_{2021} K_{2222}

R_{6, 0} K_{2302} K_{2102} K_{2230} K_{2210} K_{2023} K_{2021}

R_5,0 a besoin seulement de matrices réelles 8x8