Extension de corps

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, l'extension d'un corps K est un corps L qui contient K comme sous-corps.

Par exemple, $\mathbb{C}$, le corps des nombres complexes, est une extension de $\mathbb{R}$, le corps des nombres réels, lequel est lui-même un extension de $\mathbb{Q}$, le corps des nombres rationnels.

On note parfois L / K pour indiquer que L est une extension de K.

Soit K un corps. Une extension de K est un couple (L, j) où L est un corps et j un morphisme de corps de K dans L (les morphismes de corps étant systématiquement injectifs).

On montre qu'il existe un sur-corps N de K et un isomorphisme de corps $f:N\to L$ tels que la restriction de f à K soit égale à j. Ainsi l'extension (L, j) peut être identifiée à l'extension (N, i) avec l'inclusion i. Pour cette raison, les extensions d'un corps sont généralement considérées comme des sur-corps. Notons cependant que certaines constructions d'extensions ne sont pas naturellement des sur-corps (par exemple le corps de rupture) et que la définition d'extension ci-dessus permet plus de souplesse.

Une sous-extension de L / K est un sous-corps de L contenant K. Si V est un sous-ensemble de L, alors on définit le corps K(V) comme le plus petit sous-corps de L contenant K et V. Il est constitué des éléments de L pouvant être obtenus grâce à un nombre fini d'opérations additives et multiplicatives, et d'inversions sur K et V. Si L = K(V), on dit que L est engendré par V.

Si L est une extension de K, alors un élément de L qui est une racine d'un polynôme non-nul sur K est dit algébrique sur K. Dans le cas contraire, l'élément est dit transcendant sur K. Dans le cas où $L=\mathbb{C}$ et $K=\mathbb{Q}$, on parle de nombre algébrique et de nombre transcendant.

Si tout élément de L est algébrique sur K, l'extension L / K est dite algébrique.

Degré d'une extension

Si L / K est une extension de corps donnée, alors L est un espace vectoriel sur K, où l'addition vectorielle est l'addition dans L et la multiplication par un scalaire $K\times L\to L$ est la restriction sur $K\times L$ de la multiplication dans L.

La dimension du K-espace vectoriel L est appelée le degré de l'extension et est notée $\left[L:K\right]$. On dit que L / K est une extension finie si le degré est fini (sinon on dit que c'est une extension infinie). Par exemple, $\left[\mathbb{C}:\mathbb{R}\right]=2$ et l'extension $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ est donc finie. Par contre, puisque $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable alors que tout espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{Q}$ l'est, l'extension $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ est infinie.

Si M est une extension finie de L qui est elle-même une extension finie de K, alors M est une extension finie de K et on a :

$\left[M:K\right]=\left[M:L\right]\cdot \left[L:K\right]$.

Toute extension finie est algébrique, et toute extension algébrique est la réunion de ses sous-extensions finies.

Extension simple

Si L / K est une extension de corps et V est un sous-ensemble de L, alors on définit le corps K(V) comme le plus petit sous-corps de L contenant K et V. Il est constitué des éléments de L pouvant être obtenus grâce à un nombre fini d'opérations additives et multiplicatives, et d'inversions sur K et V. Si L = K(V), on dit que L est engendré par V.

Une extension engendrée par un seul élément est appelée extension simple. Elle est finie si et seulement si elle est engendrée par un élément algébrique.

Par exemple, $\mathbb{C}$ est une extension simple de $\mathbb{R}$ car elle est engendrée par i, l'unité imaginaire. L'extension $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, n'étant ni finie, ni purement transcendante, n'est pas simple.

Extension radicielle

Une extension L / K est dite radicielle si tout élément x de L est une racine d'un élément de K, c'est-à-dire que $x^n\in K$ pour une puissance convenable de x. Alors K est de caractéristique positive p, et $x^{p^m}\in K$ pour un entier naturel m convenable.

Extension séparable

Un élément algébrique d'une extension L / K est dit séparable sur K s'il annule un polynôme séparable à coefficients dans K (c'est-à-dire un polynôme premier avec son dérivé, ou de façon équivalente, un polynôme qui n'a pas de racine multiple dans une clôture algébrique de K). Une extension algébrique est dite séparable si tous ses éléments sont séparables sur K. Toute extension algébrique d'un corps parfait est séparable. Toute extension finie séparable est simple (la réciproque est cependant manifestement fausse).

Toute extension finie est extension radicielle d'une extension séparable.

Extension de Galois

Une extension finie L / K est dite de Galois ou galoisienne si elle est normale et séparable. Le groupe des automorphismes de l'extension est fini, d'ordre le degré de l'extension [L:K]. Ce groupe est appelé groupe de Galois de l'extension.

Par exemple, $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ est de Galois, son groupe de Galois est le groupe cyclique d'ordre 2.

Une extension qui n'est pas algébrique est dite transcendante. Par exemple, $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ est transcendante car π est un nombre transcendant. Le corps des fractions rationnelles K(t) est transcendante.

Extension transcendante pure

On dit que des éléments $x_1,\dots ,x_n$ de L sont algébriquement indépendants sur K s'il n'existe pas de polynôme non-nul $F(X_1,\dots ,X_n)$ dans $K[T_1,\dots ,T_n]$ tel que $F(x_1,\dots ,x_n)=0$. Un ensemble d'éléments de L sont dits algébriquement indépendants sur K si tous ses sous-ensembles finis le sont.

Si L est engendré par une famille d'éléments algébriquement indépendants sur K, l'extension est dite purement transcendante. Cela équivaut à dire que L est le corps des fractions d'un anneau de polynômes (à plusieurs ou même une infinité de variables) à coefficients dans K.

Toute extension est extension algébrique d'une extension purement transcendante.

Degré de transcendance

Une famille S d'éléments de L est appelée une base de transcendance si elle est algébriquement indépendante sur K et si elle n'est strictement contenue dans aucune famille algébriquement indépendante de L. Les bases de transcendance existent et ont toutes le même cardinal. Lorsque ce cardinal est fini, il est appelé le degré de transcendance de L sur K.

Extension de type fini

Une extension L/K engendrée par une famille finie V est dite de type fini. Toute extension finie est de type fini. L'extension $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ n'est pas de type fini. Si L/K est de type fini, alors L est une extension finie d'un corps de fractions rationnelles K(X₁,...,X_n) à plusieurs variables. Les extensions de type fini interviennent en Géométrie algébrique, ce sont exactement les corps de fonctions rationnelles sur les variétés algébriques intègres. Elles sont de degré de transcendance finie.

S. Lang, Algebra.