Sangaku

Les Sangaku ou San Gaku (算額 ; littéralement tablettes mathématiques) sont des énigmes géométriques japonaises de géométrie euclidienne gravées sur des tablettes de bois, apparues durant la période Edo (1603-1867) et fabriquées par des membres de toutes les classes sociales.

Pendant la période Edo, le Japon était complètement isolé du reste du monde, si bien que les tablettes furent créées en utilisant les mathématiques japonaises (wasan), sans influence de la pensée mathématique occidentale. Par exemple la connexion fondamentale entre une intégrale et sa dérivée était inconnue, de sorte que les problèmes des Sangaku sur les aires et les volumes étaient résolus par l'expansion de séries infinies et le calcul terme par terme. Ce fut une période d’intense création culturelle, au sens large, avec l’apparition d'autres formes d’art profondément originales : le théâtre Kabuki, le Bunraku (théâtre de marionnettes), l’Ukiyo-e (estampes). Les Japonais tirèrent profit des héritages culturels chinois ramenés du continent. Certains ouvrages de mathématiques leur furent d'abord incompréhensibles et furent ensuite lentement assimilés.

Les Sangaku étaient peints en couleur sur des tablettes de bois suspendues à l'entrée de temples et d'autels shintoïstes (Jinja) en offrande aux divinités locales (tablettes votives).. Selon certaines sources, il s'agissait de montrer le talent d'un maître mathématicien à la vue du plus grand nombre.

Beaucoup de ces tablettes ont été perdues après la période de modernisation qui succéda à la période Edo, mais environ 900 ont pu être conservées. Les Sangaku furent publiées pour la première fois en 1989 par Hidetoshi Fukagawa, un professeur de mathématiques de lycée et par Daniel Pedoe dans un livre intitulé Japanese Temple Geometry Problems.

Les tablettes sangaku présentent souvent des figures simples où l'esthétique des formes est déterminante dans le choix des problèmes. On y retrouve particulièrement des polygones et des polyèdres simples ou réguliers, des cercles, des ellipses, des sphères et des ellipsoïdes. Le paraboloïde et les différentes coniques y font leur apparition aussi. Le cylindre intervient surtout pour créer l'ellipse par intersection avec le plan. Les transformations affines sont utilisés pour passer du cercle à l'ellipse. Des problèmes concernent par exemple plusieurs cercles mutuellement tangents ou plusieurs cercles tangents avec une ellipse.

• Un des beaux problèmes, celui trouvé sur une tablette de la Préfecture de Tokyo en 1788 et qui fit la couverture du Scientific American, met en jeu le disque ou le cercle des entiers, où, dans un cercle de rayon 1, on coince deux disques de rayon 1/2 (ou de courbure 2, la courbure étant l'inverse du rayon), les interstices étant comblés de disques de courbure 3, créant ainsi d'autres interstices, qui seront à leur tour remplis par de plus petits disques de courbures entières (6, 11, 27, etc.) Cette construction remarquable, qui fait intervenir une infinité de quadruplets de cercles mutuellement tangents (satisfaisant donc le théorème de Descartes), ne contient que des cercles aux courbures entières. Le problème demandait simplement quel était le rayon d'un cercle d'une des séries intersticielles.