Semi-continuité

En analyse mathématique, la semi-continuité est une propriété des fonctions définies sur un espace topologique et à valeurs dans la droite réelle achevée $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$ ; il s'agit d'une forme faible de la continuité. Intuitivement, une telle fonction $f$ est dite semi-continue supérieurement en $x_0$ si, lorsque $x$ est proche de $x_0$, $f(x)$ est soit proche de $f(x_0)$, soit inférieur à $f(x_0)$. Pour définir semi-continue inférieurement, on remplace « inférieur à » par « supérieur à » dans la définition précédente.

Considérons la fonction f définie par $f(x)=-1$ pour $x\ne 0$ et $f(0)=1$. Cette fonction est semi-continue supérieurement, mais non semi-continue inférieurement.

La fonction partie entière $f(x)=\lfloor x\rfloor$, qui retourne le plus grand entier inférieur ou égal au $x$ donné, est partout semi-continue supérieurement.

La fonction f définie par $f(x)=\sin (1/x)$ pour $x\ne 0$ et $f(0)=1$ est partout semi-continue supérieurement (mais n'admet pas de limite à gauche ni à droite en 0).

La fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle est semi-continue supérieurement.

Longueur

Les fonctions lipschitziennes de [0,1] vers l'espace R forment un espace vectoriel réel, noté ici E. Il est muni de la topologie C, celle définie par la norme

$N(f)={\sup }_{0\le t\le 1}|f(t)|+{\sup }_{s\ne t}\frac{|f(t)-f(s)|}{|t-s|}$.

La longueur de la courbe f est définie par

où le supremum porte sur toutes les partitions finies $0=t_0\le t_1\le \cdots \le t_k=1$. La longueur L(f) est un nombre fini, et la fonction L est semi-continue inférieurement. Cela signifie exactement que, pour tout réel positif r, la partie $\{f\in E,L(f)\le r\}$ est fermé pour la topologie C.

Soit $X$ un espace topologique, $x_0$ un point de $X$ et $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ une fonction. On dit que $f$ est semi-continue supérieurement en $x_0$ si pour tout $\epsilon >0$, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ tel que $f(x)\le f(x_0)+\epsilon$ pour tout $x$ de $U$. De manière équivalente, on peut exprimer cela par :

où limsup est la limite supérieure (d'une fonction $f$ au point $x_0$).

La fonction $f$ est dite semi-continue supérieurement si et seulement si elle est semi-continue supérieurement en tout point de X. Elle est donc semi-continue supérieurement si et seulement si $\{x\in X;f(x)<\alpha \}$ est un ouvert pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.

De même, la semi-continuité inférieure en $x_0$ s'exprime par :

et $f$ est dite semi-continue inférieurement si et seulement si elle est semi-continue inférieurement en tout point de X, ou encore si et seulement si $\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ est un ouvert pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.

Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est semi-continue supérieurement et inférieurement en ce point.

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions semi-continues supérieurement en $x_0$, alors $f+g$ l'est aussi. Si de plus les deux fonctions sont à valeurs positives ou nulles, leur produit $fg$ est également semi-continu supérieurement en $x_0$. Le produit d'une fonction semi-continue supérieurement par un réel négatif est une fonction semi-continue inférieurement.

Soit $(f_i{)}_{i\in I}$ une famille de fonctions semi-continues inférieurement de X dans $\overline{\mathbb{R}}$ et

pour tout $x$ dans $X$. Alors $f$ est semi-continue inférieurement. En effet, pour tout réel $\alpha$, l'ensemble

est la réunion des ensembles $U_{\alpha ,i}=\{x\in X|f_i(x)>\alpha \}$ : c'est une réunion d'ouverts, il est donc lui-même ouvert.

Par contre, même si toutes les fonctions $f_i$ sont continues, $f$ n'est pas nécessairement continue : en fait, sur un espace uniforme, toute fonction semi-continue inférieurement est le sup d'une famille de fonctions continues (sur un espace métrique cette famille peut même être choisie dénombrable).

La fonction indicatrice de tout ouvert est semi-continue inférieurement. La fonction indicatrice de tout fermé est semi-continue supérieurement.

Si $C$ est un compact (par exemple un intervalle fermé $[a,b]$ de $\mathbb{R}$) et si $f:C\to \mathbb{R}$ est semi-continue supérieurement, alors $f$ est majorée sur $C$ et atteint sa borne supérieure. La propriété est analogue pour la borne inférieure d'une fonction semi-continue inférieurement. Ces propriétés généralisent le théorème des bornes.

Dans le cas où $X$ est un espace vectoriel topologique, on dit que la fonction $f$ est faiblement semi continue (inférieurement ou supérieurement) lorsque la limite dans la définition de semi-continuité est prise au sens de la topologie faible. Afin d'éviter les ambiguïtés, on écrira parfois fortement semi continue pour désigner la semi-continuité définie pour la topologie forte.