Somme de Gauss

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, la somme de Gauss est un nombre complexe.

La Somme de Gauss utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini Z/pZ où p désigne un nombre premier impair et Z l'ensemble des entiers relatifs.

Elles sont introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss qui les utilise dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801.

Elles sont utilisées pour établir la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications. On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Dans cet article, p désigne un nombre premier impair, F_p le corps fini isomorphe à Z/pZ, F_p son groupe multiplicatif (c'est-à-dire le même ensemble sauf 0, avec la structure de groupe donnée par la multiplication) et ω désigne une racine primitive p-ième de l'unité, le caractère ψ_m désigne celui qui, à 1_F associe ω.

• Soit ψ un caractère du groupe additif (F_p, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (F_p, .), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par :

Pour une raison de simplicité, χ et ψ sont aussi considérés comme des fonctions définies sur Z l'anneau des entiers, avec la convention suivante :

En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe $G(\chi ,\bar{\psi })$ comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à F_p par l'égalité χ(0) = 0 dans le groupe additif du corps et l'application qui à ψ associe $G(\bar{\chi },\psi )$ comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à F_p dans le groupe multiplicatif du corps.

L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss, ce paragraphe propose quelques exemples.

• Si m est un entier premier avec p, alors l'égalité suivante est vérifiée :

Ici Z désigne l'ensemble des entiers naturels et si z est un nombre complexe $\bar{z}$ désigne son conjugué.

• Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à un, alors l'égalité suivante est vérifiée :

Cette propriété possède le corollaire suivant :

• Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de F*_p et -1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :*

Dans cet article, (-1/p) désigne le symbole de Legendre.

Somme quadratique de Gauss

L'exemple historique, publié par Gauss en 1801 est le suivant :

• *Si τ_p est la somme définie à la ligne suivante, alors τ_p est égal à (-1/p).*p.

Loi de réciprocité quadratique

La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair distinct de p :

Elle se démontre à l'aide de la somme quadratique de Gauss et des propriétés des sommes.