Sous-espace vectoriel engendré

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Introduction

Etant donnée une partie (pas nécessairement finie) A d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, le sous-espace vectoriel engendré par A est exactement le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. Des définitions équivalentes sont données ci-dessous. L'engendrement par une famille de vecteurs $(v_{i})_{i \in I}$ se définit de même en prenant $A = {v_{i}, i \in I}$ . Par exemple, dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K, le sous-espace engendré par les monomes X pour i entier est le sous-espace des polynômes de la forme P(X).

Une famille de vecteurs ${v_{i}, i \in I}$ est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Définitions équivalentes

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K. Le sous-espace engendré par A peut etre défini comme :

Le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A, comme dans l'introduction ;
Ou le sous-ensemble de E des combinaisons linéaires des vecteurs de A.

Ces deux sous-ensembles de E sont égaux : la démonstration doit justifier en particulier que est bien un sous-espace vectoriel de E. Un vecteur appartient à ssi il existe une famille $(λ_{i})_{i \in I}$ de scalaires à support fini telle que

$v = \sum_{i \in I} λ_{i} v_{i}$ .

De manière naturelle, est un espace vectoriel. La partie A, contenue dans , est appelée partie génératrice de A, ou ensemble de générateurs de A.

La définition s'étend à une famille quelconque $(v_{i})_{i \in I}$ de vecteurs de E. (Les vecteurs v_i peuvent éventuellement être égaux.) Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de la famille, noté $V ec t ((v_{i})_{i \in I})$ , est :

V ec t ((v_{i}) i \in I) = {λ i_{1} v_{i_{1}} + \dots + λ_{i_{k}} v_{i_{k}} ∣ k \in N, i_{1}, \dots, i_{k} \in I, λ_{i_{1}}, \dots, λ_{i_{k}} \in K}

où $N$ est l'ensemble des entiers naturels. En particulier, Vec**t(v_i) est le sous-espace vectoriel engendré par la partie $A = {v_{i}, i \in I}$ . Toutes les combinaisons linéaires écrites ci-dessus portent sur un nombre fini de vecteurs.

Les familles $(λ_{i})_{i \in I}$ de scalaires à support fini forment un espace vectoriel sur K, noté K. L'addition vectorielle s'effectue composante par composante. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille ${v_{i}, i \in I}$ est l'image de l'application linéaire $K^{(I)} \to E (λ_{i}) i \in I \to \sum i \in I λ_{i} v_{i}$ .

Base

Une base de E est une famille génératrice ${v_{i}, i \in I}$ constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

Exemples

L'espace vectoriel réel $R^{3}$ admet {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} comme ensemble générateur, qui est aussi une base. Un autre ensemble générateur est {(1,2,3),(0,1,2),( − 1,1 / 2,3),(1,1,1)} mais celui-ci n'est pas une base de $R^{3}$ parce que les vecteurs sont linéairement dépendants. L'ensemble {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} n'engendre pas $R^{3}$ ; au lieu de cela il engendre le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs de $R^{3}$ dont la dernière composante est nulle.
Dans l'espace vectoriel usuel, $R^{3}$ , considérons les vecteurs u₁ = (1,0,0) et u₂ = (1,1,0). On a

V ec t (u_{1}, u_{2}) = {(λ + μ, μ, 0) / (λ, μ) \in R^{2}} = {(x, y, 0) / (x, y) \in R^{2}}

Soit $P = {(x, y, z) \in R^{3} / x + y - z = 0}$ . On a

$P = {x (1, 0, 1) + y (0, 1, 1) / (x, y) \in R^{2}} = V ec t ((1, 0, 1), (0, 1, 1))$ .

Théorèmes

Théorème 1: $V ec t (v_{1}, \dots, v_{n})$ est un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs $v_{1}, \dots, v_{n}$ .

Ce résultat est une des raisons pour lesquelles la notion de sous-espace vectoriel engendré est importante.

Théorème 2: Vect(A) est aussi un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous espace-vectoriel de E, contenant A.

Nous n'allons démontrer que le théorème 1. La démonstration du théorème 2 est très similaire, mais un peu plus malaisée à rédiger, puisque les vecteurs de toute combinaison linéaire donnée peuvent être différents.

Démonstration du théorème 1:

Stabilité pour la somme:

Les formes les plus générales possibles pour deux éléments de $V ec t (v_{1}, \dots, v_{n})$ sont $x = a_{1} . v_{1} + \dots + a_{n} . v_{n}$ et $y = b_{1} . v_{1} + \dots + b_{n} . v_{n}$ .

Nous avons à montrer que x + y est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs. En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition ainsi que la distributivité, nous pouvons écrire:

x + y = (a_{1} + b_{1}) v_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) v_{n}

et puisque pour tout i, a_i + b_i est un scalaire de K, nous voyons que x + y est effectivement une combinaison linéaire des vecteurs donnés.

Stabilité pour la multiplication par un scalaire:

Soit c un scalaire et à nouveau considérons une combinaison linéaire de la forme: $x = a_{1} . v_{1} + \dots + a_{n} . v_{n}$ .

Nous avons à montrer que c.x est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Nous avons

c x = (c a_{1}) v_{1} + \dots + (c a_{n}) v_{n}

et puisque pour tout i, c.a_i est aussi un scalaire le résultat est acquis.

$V ec t (v_{1}, \dots, v_{n})$ est non vide.

Le vecteur nul de E, 0_E est une combinaison linéaire de $v_{1}, \dots, v_{n}$ puisque nous pouvons écrire:

0_{E} = 0_{K} v_{1} + 0_{K} v_{2} + \dots + 0_{K} v_{n}

(Ici, 0_K est l'élément neutre additif du corps K.)

Cette dernière relation est bien vraie, parce que dans tout espace vectoriel nous avons $\forall v \in E, 0_{K} . v = 0_{E}$ .

Minimalité:

Supposons que F soit un autre sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs $v_{1}, \dots, v_{n}$ .

Alors F est stable pour la multiplication et l'addition des vecteurs, ainsi nous pouvons démontrer par une récurrence finie sur le nombre de vecteurs que pour tous scalaires $a_{1}, \dots, a_{n}$ , $a_{1} . v_{1} + \dots + a_{n} . v_{n}$ est un élément de F. Ainsi, $V ec t (v_{1}, \dots, v_{n})$ , l'ensemble de telles combinaisons linéaires est une sous-ensemble de F.

Propriétés

Soient $v_{1}, \dots, v_{n}$ n vecteurs d'un espace vectoriel E. Nous avons

Vect (v_{1}, \dots, v_{n - 1}) = Vect (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟺ v_{n} \in Vect (v_{1}, \dots, v_{n - 1})

La dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n si et seulement si la famille est libre.
Pour toutes parties A et A' de E,
$A \subset A^{'} \Rightarrow V ec t (A) \subset V ec t (A^{'})$
$V ec t (A \cup A^{'}) = V ec t (A) + V ec t (A^{'})$ .