Suite géométrique

En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur $\{n\in \mathbb{N},n\ge n_0\}$ à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de $E$ appelé raison pour lequel :

On dit alors que les termes $u_n$ sont en « progression géométrique ».

Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans $E=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Exemple Si la raison $q=1,1$ et $u_0=10$ :

• $u_1=11$
• $u_2=12,1$
• $⋮$

La suite géométrique est l'outil privilégié pour l'étude de phénomène à croissance ou décroissance exponentielle et l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps constant (période).

Exemple : Le carbone 14 C est un atome radioactif dont la période ou demi-vie est de T = 5730 ans (à 40 an près). Cela signifie que, en cas de fermeture d'un système (fin des échanges avec le monde extérieur), la quantité de carbone 14 diminue de moitié tous les 5730 ans.

Si N est la quantité de C dans le système, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de C . Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on appelle N_n la quantité d'atomes C au bout de n périodes, la suite (N_n ) est une suite géométrique de raison 1/2.

On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.

Exemple :Un capital C₀ placé à 5% rapporte au bout d'un an $0,05\times C_0$ d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital $C_1=1,05\times C_0$ . En recommençant le processus chaque année, on crée une suite géométrique de raison 1,05 car $C_{n+1}=1,05\times C_n$

On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)

Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.

Si E est un corps et si $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de E de raison $q\in E$ alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

Plus généralement, si la suite est définie sur $\{n\in \mathbb{N},n\ge n_0\}$ et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :

Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme $u_{n_0}$ et par sa raison q.

Réciproquement, une suite définie sur $\{n\in \mathbb{N},n\ge n_0\}$ par

est une suite géométrique de raison q.

On supposera $u_{n_0}$ et q non nul.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans $\mathbb{R}$.

• si $q<0$ la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs.
• si $q\in ]0;1[$
• si $u_{n_0}>0$ la suite est décroissante positive
• si $u_{n_0}<0$ la suite est croissante négative
• si $q\in ]1;+\infty [$
• si $u_{n_0}>0$ la suite est croissante positive
• si $u_{n_0}<0$ la suite est décroissante négative
• si $q=1$ la suite est constante.

Convergence

Dans $\mathbb{R}$

• si $q<-1$, la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans $\bar{\mathbb{R}}$ les valeurs d'adhérence sont $+\infty$ et $-\infty$.
• si $q=-1$, la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence $u_{n_0}$ et - $u_{n_0}$
• si $|q|<1$, la suite converge vers 0
• si $q=1$, la suite est constante et converge vers $u_{n_0}$
• si $q>1$, la suite est divergente mais possède une limite égale à
• $+\infty$ pour $u_{n_0}>0$
• $-\infty$ pour $u_{n_0}<0$

Dans $\mathbb{C}$

• si $\left|q\right|<1$, la suite converge vers 0.
• si $\left|q\right|>1$, la suite est divergente.
• si q = 1, la suite est constante et converge vers $u_{n_0}$.
• si $q\ne 1$ et $\left|q\right|=1$, la suite diverge.

Dans $\mathbb{R}$

On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif , $(1+t{)}^n\ge 1+nt$ ce qui permet de dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont quasiment confondues.

Illustration a = 1000 et t = 0,004, at = 4

Cette approximation permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre $\sqrt{(}lien)1+t-1$

Si $E=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et si $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

${\sum }_{p=m}^{p=n}{u}_p=\frac{u_m-u_{n+1}}{1-q}=u_0{q}^m\frac{1-q^{n+1-m}}{1-q}$ pour q différent de 1

${\sum }_{p=m}^{p=n}{u}_p=(n-m+1)u_0$ pour q = 1

• Voir série géométrique, somme des premiers termes