Système binaire

Le système binaire est un système de numération utilisant la base 2. On nomme couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la numération binaire. Ceux-ci ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1.

C'est un concept essentiel de l'informatique. En effet, les processeurs des ordinateurs sont composés de transistors ne gérant chacun que deux états.

Un calcul informatique n'est donc qu'une suite d'opérations sur des paquets de 0 et de 1, appelés octets lorsqu'ils sont regroupés par 8.

Le codage le plus courant est l'équivalent en base deux de la numération de position que nous utilisons quotidiennement en base 10.

Énumération des premiers nombres

Les premiers nombres s'écrivent :

décimal binaire 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101

(Sachant que les colonnes binaires correspondent respectivement à 8,4,2 et 1)

On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues et en utilisant les tables d'additions suivantes:

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10

ainsi:

11 + 1 ==== 100

Détail :

1 + 1 = 10 => on pose 0, et retient 1 1 + 1(retenue) = 10 => on pose 0, et retient 1 0 + 1(retenue) = 1 => 1

L'arithmétique binaire (plus simplement le calcul binaire) est utilisé par les systèmes électroniques les plus courants (calculatrices, ordinateurs, etc.) car le niveau de tension peut servir à représenter les deux chiffres 0 et 1 ; 0 représentant l'état bas et 1 l'état haut.

Tout entier naturel peut s'écrire en binaire, c'est-à-dire qu'il se décompose en somme de puissances de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.), par exemple 35 se décompose en :

(1 * 2) + (0 * 2) + (0 * 2) + (0 * 2) + (1 * 2) + (1 * 2) = 32 + 2 + 1 = 35

donc le nombre décimal 35 se note 100011 en binaire.

Expression d'un nombre

Un nombre décimal à plusieurs chiffres tel que 123 s'exprime ainsi :

1 * 100 + 2 * 10 + 3 * 1 = 1 * 10 + 2 * 10 + 3 * 10

Sa représentation en binaire est 1111011 et s'exprime de la même façon :

1 * 64 + 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 0 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2

Représentation des entiers positifs

Pour trouver la représentation binaire d'un nombre, on le décompose en somme de puissances de 2. Par exemple avec le nombre dont la représentation décimale est 42 :

42 = 32 + 8 + 2 42 = 2 + 2 + 2 42 = 1×2 + 0×2 + 1×2 + 0×2 + 1×2 + 0×2 42 = 101010 en binaire

Avec N bits, ce système permet de représenter les nombres entre 0 et 2-1. Il est donc possible de compter sur ses dix doigts jusqu'à 1023 (2-1) en binaire (à condition de savoir lever chaque doigt indépendamment). Un doigt baissé représente 0, et un doigt levé représente une puissance de 2 correspondant au doigt, par exemple :

Doigt Main Puis. Valeur en de 2 numération décimale Auriculaire de la main droite levé 2^{0 1 Annulaire » 2}1 2 Majeur » 2^{2 4 Index » 2}3 8 Pouce » 2^{4 16 Pouce de la main gauche levé 2}5 32 Index » 2^{6 64 Majeur » 2}7 128 Annulaire » 2^{8 256 Auriculaire » 2}9 512 ------- Somme =1 023 (Pour mémoire 2^10 =1 024)

Ceci confirme la formule

2-1=2+2+...+2

Représentation des entiers négatifs

Pour compléter la représentation des entiers, il faut pouvoir écrire des entiers négatifs. On ajoute pour cela à la représentation un bit de signe, placé en tête. Un bit de signe nul indique une valeur positive, un bit de signe positionné à 1 est une valeur négative. Cette règle permet de rester cohérent avec le système de représentation des entiers positifs : il suffit d'ajouter un 0 en tête de chaque valeur.

Complément à un

Ce codage, fort simple, consiste à inverser la valeur de chaque bit composant une valeur binaire.

Par exemple, pour obtenir -7 :

0111 valeur décimale 7 1000 complément à un

Le souci avec un tel système est qu'il y a toujours deux représentations de la valeur 0 pour un nombre de bit donné.

Complément à deux

Afin de pallier ce défaut, on a introduit la représentation par complément à deux. Celle-ci consiste à réaliser un complément à un de la valeur, puis d'ajouter 1 au résultat.

Par exemple pour obtenir -7:

0111 codage de 7 en binaire 1000 complément à un 1001 on ajoute 1 : représentation de -7 en complément à deux

Ce codage a l'avantage de ne pas nécessiter de différenciation spéciale des nombres positifs et négatifs, et évite en particulier le problème d'ordinateurs anciens (Control Data 6600) qui avaient un « +0 » et un « -0 » dont il fallait faire comprendre aux circuits de tests que c'était le même nombre ! Voici une addition de -7 et +9 réalisée en complément à deux sur 4 bits :

-7 1001 +9 1001 __ ____ 2 (1) 0010 (on 'ignore' la retenue)

Avec n bits, ce système permet de représenter les nombres entre -2 et 2-1.

Entre les bases 2, 8 et 16

Du binaire vers octal ou hexadécimal

Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases multiples de la base 2. Ces deux bases ont été couramment employées en informatique et pour des raisons pratiques; ces bases étant fortement liées à la base 2 et les nombres écrits dans ces bases étant plus "manipulables" (car d'écriture plus courte) par l'intellect humain. L'écriture de nombres dans ces bases est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.

• Octal : base 8 : 8 = 2, il suffit de regrouper à partir de la droite et par paquets de 3 les chiffres binaires (voir bāguà). Chaque paquet de 3 (le dernier devant être parfois complété par des 0 à gauche), étant l'écriture binaire d'un chiffre en base 8 (0₈=000, 1₈=001, 2₈=010, 3₈=011, 4₈=100, 5₈=101, 6₈=110, 7₈=111).

• 10101101110₂ va s'écrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en un chiffre octal, on obtient le nombre octal 2556₈.

• Hexadécimal : base 16 : 16 = 2, donc on regroupe à partir de la droite et par paquets de 4 les chiffres binaires. Chaque paquet de 4 bits étant la représentation binaire d'un chiffre en base 16. Il faut donc 16 chiffres, il a été décidé d'utiliser les 10 chiffres décimaux plus les 6 premiers caractères de l'alphabet avec la convention suivante: A₁₆=10₁₀=1010₂, B₁₆=11₁₀=1011₂, C₁₆=12₁₀=1100₂, D₁₆=13₁₀=1101₂, E₁₆=14₁₀=1110₂ et F₁₆=15₁₀=1111₂.

• 10101101110₂ va s'écrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-à-dire 56E₁₆.

On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.

Vers le binaire

Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire.

• 1A2F₁₆ va s'écrire 1, 10=8+2, 2, 15=8+4+2+1 soit 1 1010 0010 1111₂
• 156₈ va s'écrire 1, 5=4+1, 6=4+2 soit 1 101 110₂

Table des valeurs des groupements de chiffres binaires

Ce codage permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est incrémenté ou décrémenté d'une unité.

Le code de Gray, également appelé binaire réfléchi, permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est incrémenté ou décrémenté d'une unité. Le nom du code vient de l'ingénieur américain Frank Gray qui déposa un brevet sur ce code en 1953. Monsieur Louis Gros publia en 1872 un opuscule où ce code était présenté pour la première fois en lien avec un casse-tête. Monsieur Gros était clerc de notaire à Lyon.

Pour "calculer" directement le code de Gray d'un entier à partir de celui de son prédécesseur on peut procéder ainsi :

- lorsqu'il y a un nombre pair de 1 on inverse le dernier bit

- lorsqu'il y a un nombre impair de 1 on inverse le bit directement a gauche du 1 le plus a droite.

Le code de Gray est utilisé entre autres sur une Roue codeuse.

Ce codage consiste à représenter chacun des chiffres de la numérotation décimale sur 4 bits:

1994 = 0001 1001 1001 0100 1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1

Il présente l'avantage de simplifier la conversion avec la notation décimale.

Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778-1. Le BCD est un code redondant, en effet certaines combinaisons ne sont pas utilisées (comme 1111 par exemple).

Cette représentation évite par construction tous les problèmes gênants de cumul d'arrondi qui interviendraient lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique entière et obligent à recourir au flottant. Il est cependant possible de manipuler des nombres à précision arbitraire en utilisant un codage plus efficace que le BCD.

Il existe des variantes du codage BCD :

• code Aiken où 0, 1, 2, 3, 4 sont codés comme en BCD et 5, 6, 7, 8, 9 sont codés de 1011 à 1111. Il permet d'obtenir le complément à 9 en permutant les 1 et les 0.
• codage binaire excédant 3 qui consiste à représenter le chiffre à coder + 3.

Théorie de l'information

En théorie de l'information, l'entropie d'une source d'information est exprimée en bits. La théorie elle-même est indifférente à la représentation des grandeurs qu'elle utilise.

Logique

La logique classique est une logique bivalente: une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de représenter la vérité d'une proposition par un chiffre binaire. On peut par exemple modéliser les opérations de l'arithmétique binaire à l'aide de l'algèbre de Boole.

L'algèbre de Boole représente un cas très particulier d'usage des probabilités ne faisant intervenir que les seules valeurs de vérité 0 et 1. Voir Théorème de Cox-Jaynes.

Informatique

Le binaire est utilisé en informatique car il permet de modéliser le fonctionnement des composants de commutation comme le TTL ou le CMOS. La présence d'un seuil de tension au bornes des transistors, en négligeant la valeur exacte de cette tension, représentera 0 ou 1. Par exemple le chiffre 0 sera utilisé pour signifier une absence de tension à 0,5V près, et le chiffre 1 pour signifier sa présence à plus de 0,5V. cette marge de tolérance permet de pousser les cadences des microprocesseurs à des valeurs atteignant sans problème (hormis d'échauffement) plusieurs gigahertz. Ne sachant pas techniquement réaliser des composants électroniques à plus de deux états stables (0 ou plus de 0,5V), on n'utilise que la logique (bivalente) et donc le système binaire.

En informatique, la représentation binaire permet de clairement manipuler des bits : chaque chiffre binaire correspond à un bit. La représentation binaire nécessitant l'usage de beaucoup de chiffres (même pour des nombres assez petits), ce qui entraînerait d'importants problèmes de lisibilité et donc de risques d'erreur de transcription pour les programmeurs on lui préfère pour eux une représentation parfois octale ou plus fréquemment hexadécimale. La quasi totalité des microprocesseurs actuels travaillant avec des mots de 8, 16, 32 ou 64 bits, la notation hexadécimale permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits (contre 3 pour la notation octale plus populaire du temps des premiers mini-ordinateurs DEC à 12 ou 36 bits).

• 63 ₍₁₀₎ = 111111 ₍₂₎ = 77 ₍₈₎ = 3F ₍₁₆₎
• 64 ₍₁₀₎ = 1000000 ₍₂₎ = 100 ₍₈₎ = 40 ₍₁₆₎
• 255 ₍₁₀₎ = 11111111 ₍₂₎ = 377 ₍₈₎ = FF ₍₁₆₎
• 256 ₍₁₀₎ = 100000000 ₍₂₎ = 400 ₍₈₎ = 100 ₍₁₆₎

• 1650 av J.C. - Multiplication égyptienne
• 1600 - Table de Thomas Harriot(1560-1621), première expression du binaire connue en France
• 1605 - Francis Bacon utilise un code secret bilitaire (à deux lettres) pour protéger ses messages (il remplace les lettres du message par leur position en binaire, puis les 0 et les 1 par des A et des B. Exemple : lettre E → 5 → 00101 → codée AABAB
• 1617 - Neper, dans son traité 'Rhabdologie', montre comment effectuer simplement les opérations sur des nombres binaires.
• 1670 - Juan Caramuel y Lobkowitz fait la première étude raisonnée sur les numérations non décimales.
• 1677 - Leibniz étudie le binaire comme mode de calcul des fractions décimales, De progresso dyadica est publié en 1679.
• 1688 - La Chine s'empare des idées de Leibniz et redécouvre des travaux chinois datant de trois mille ans avant J.C.
• 1703 - Leibniz publie son exposé sur le système binaire devant l'Académie des sciences de Paris dans les Mémoires
• 1847 - George Boole publie les premiers travaux de son Algèbre de Boole