Nombre décimal

Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme $a\times 10^p$ (où a et p sont des entiers relatifs). Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre $\pi$ qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut : $3,14;3,14159;3,14159265;\text{etc.}$

Si a est un nombre rationnel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal :

• a admet un développement décimal limité (c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres différents de 0).
• Il existe $m\in \mathbb{Z}$ et $p\in \mathbb{N}$ tels que : $a=\frac{m}{10^p}$.
• La fraction irréductible de a est de la forme $\frac{b}{5^m\times 2^p}$, où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels.
• a possède deux développements décimaux distincts.

Remarques

• La première assertion prouve que 1,6666 est un nombre décimal et que 1,6666... (qui s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas un.
• La deuxième assertion nous dit que $\frac{765}{10^8}$ est un nombre décimal, mais elle ne peut pas être utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas décimal.
• La troisième assertion nous donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible (par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur), puis de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 et 5.
• La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ». Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2,4999... (avec une infinité de 9). Pour des détails, voir l'article Développement décimal de l'unité.

L'ensemble des décimaux est souvent noté $\mathbb{D}$. $(\mathbb{D},+,\times )$ est un anneau intègre commutatif. Son corps des fractions étant $\mathbb{Q}$.

$\mathbb{D}$ est dense dans $\mathbb{R}$. Autrement dit, tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres décimaux. Ce théorème est fréquemment utilisé lors de la recherche de valeurs approchées.