Temps d'arrêt

Définition — Une variable aléatoire $T:\Omega \to \mathbb{N}\cup \{\infty \}$ est un temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}n)n\ge 0$ si,

ou bien, de manière équivalente, si,

Imaginons que désigne ici la tribu engendrée par la suite et que les variables aléatoires représentent les résultats d'un joueur lors des parties successives d'un jeu. Dans le cas de variables aléatoires à valeurs dans un espace d'états fini ou dénombrable, une partie appartient à si et seulement si il existe tel que

Supposons que représente le numéro de la partie après laquelle le joueur décide d'arrêter de jouer : est donc un temps d'arrêt si et seulement si la décision d'arrêter est prise en fonction des résultats des parties déjà jouées au moment de l'arrêt, i.e. si pour tout il existe un sous ensemble tel que  :

L'instant où le joueur s'arrête est donc un temps d'arrêt si la décision d'arrêt ne tient pas compte des résultats des parties futures, donc sous l'hypothèse que don de double-vue et tricherie sont exclus.

• Soient une suite de variables aléatoires (un processus stochastique) et T un temps d'arrêt par rapport à une filtration $(\mathcal{F}n)n\ge 0$. Le processus observé au temps T (ou arrêté au temps T) est noté et est défini par

Sur l'ensemble la définition de est problèmatique : l'ambiguité est de facto levée en posant

• Soit $T$ un temps d'arrêt et soi $N\in \mathbb{N}:$
• $T\wedge N$ est la variable aléatoire définie par $(T\wedge N)(\omega )=\min (T(\omega ),N);$
• $T\vee N$ est la variable aléatoire définie par $(T\vee N)(\omega )=\max (T(\omega ),N)$.

Propriété — Soit $T$ un temps d'arrêt, soit $N\in \mathbb{N}$. Alors et sont des temps d'arrêt.

Propriété — De même, si $SetT$ sont des temps d'arrêts, alors $S\wedge T$ en est un.

Définition et propriété — Soit $T$ un temps d'arrêt et $A\in {\mathcal{F}}_{\infty }:A$ est appelé évènement antérieur à $T$ si:

L'ensemble de ces évènements forme une sous-tribu de ${\mathcal{F}}_{\infty }$ appelée tribu antérieure à $T$ et notée ${\mathcal{F}}_T.$

Proposition — Soient $S$ et $T$ deux temps d'arrêts tels que $S\le T$ p.s.. On a alors ${\mathcal{F}}_S\subset {\mathcal{F}}_T$.

Lemme — Soit $Z$ une variable aléatoire ${\mathcal{F}}_{\infty }$-mesurable. $Z$ est ${\mathcal{F}}_T$-mesurable ssi $\forall n,1_{(T=n)}\times Z$ est ${\mathcal{F}}_n$-mesurable.

Proposition — $X_T$ est ${\mathcal{F}}_T$-mesurable.

Considérons une suite de variable aléatoires, à valeurs dans un ensemble et notons la tribu engendrée par la suite Les variables aléatoires ci-dessous sont des temps d'arrêt pour la filtration $(\mathcal{F}n)n\ge 0$ :

• Soit un élément de  ; on appelle instant de premier retour en et on note la variable aléatoire définie ci-dessous :

• De même pour une partie de on appelle instant de première entrée dans et on note la variable aléatoire ci-dessous définie :

• L'instant de $k$-ème retour en noté et défini par récurrence par :

ou encore l'instant de $k$-ème entrée dans sont des t.a..

• Pour et dans on pose On peut montrer que n'est pas un temps d'arrêt, mais que, par contre, est un temps d'arrêt.